Principi i Hamiltonit

Në fizikë, principi i Uilliam Rouan Hamilton është një formulim alternativ i ekuacioneve diferenciale të lëvizjes për një sistem fizik si ekuivalenti i ekuacioneve integrale, duke përdorur analizën e variacionit. Ky princip quhet gjithashtu edhe principi i veprimit stacionar. Edhe pse për herë të parë ky princip u formulua për përdorim në mekanikën klasike, principi i Hamiltonit gjen aplikime edhe në fushat klasike si elektromagnetizmi dhe gravitacioni. Ky princip është zhvilluar edhe në mekanikën kuantike, në teorinë e fushës kuantike si dhe për teori të tjera.

Historia e Principit të Hamiltonit

Një nga principet e para minimale në fizikë u dha nga Heroni i Aleksandrisë në shekullin e dytë. Ky princip ka të bëjë me fushën e optikës dhe pohon se një rreze dritë që kalon nga një pikë në një tjetër me reflektim nga një pasqyre gjithmonë do të marre shtegun më të shkurtër. Megjithatë principi i shtegut më të shkurtër nga Heroni nuk harrin që të japi ligjin e sakte të pasqyrimit të dritës. Në 1657 Fermat e riformuloi këtë parim duke hipotezuar se drita në një medium kalon nga një pike në një tjetër nëpërmjet shtegut që merr kohen më të paket. Principi i Ferma jo vetëm që jep ligjin e sakte të pasyrimite të dritës por prej tij mund të derivohet edhe ligji i refraktimit i njohur ndryshe si ligja i Snellit. Në mekanikë zbatimi i parë i parimit të veprimit minimal u be në 1747 nga Maupertus i cili hipotezoi se lëvizja dinamike ndodh me një veprim minimal. Maupertus e shpjegonte këtë me baza teologjike. Sipas tij ishte dituria e Zotit ajo që e bënte të mundur këtë. Në 1760 principi u vu në baza matematikë nga Jozef Luiz Lagranzhi i cili përdori analizën matematikë të variacionit për të zgjidhur shumë probleme bazuar në këtë princip. Ne 1828 që Gausi ai që përdori atë që ai quante principi i shtrëngesës më të paket. Një modifikim u be më vonë nga Herci në atë që ai quante principi i kurbaturës minimale. Megjithatë që Hamiltoni ai që për herë të parë dha në mënyre koncize atë që ne sot e njohim si principi i veprimit minimal. Principi i Hamiltoni pohon se nga të gjitha shtegjet e mundura që një sistem dinamik mund të ndjeke mes dy pika në një interval kohor të caktuar ai ndjek atë që minimizon integralin e veprimit, ku integrali i veprimit përcaktohet si diferenca mes energjisë kinetike dhe asaj potenciale. Është për tu theksuar se nga pikëpamja kronologjike principi i Hamiltonit erdhi pas metodës së Lagranzhit.

Formulimi Matematik

Principi i Hamiltonit pohon se evoluimi i vërtete $\mathbf {q} (t)$ i një sistemi të përshkruar nga $N$ koordinata të përgjithshme $\mathbf {q} =\left(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N}\right)$ mes dy gjendjeve specifike $\mathbf {q} _{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {q} (t_{1})$ edhe $\mathbf {q} _{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {q} (t_{2})$ në dy kohë specifike $t_{1}$ edhe $t_{2}$ është një ekstremum (i.e., një pikë stacionare, e cila mund të jetë një minimum, maksimum ose pikë infleksoni) e veprimit të funksionalit

${\mathcal {S}}[\mathbf {q} (t)]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)\,dt$

ku $L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)$ është funksioni i Lagranzhit për sistemin. Me fjale të tjera, çdo perturbim i klasit të parë i evolucionit të vërtete të sistemit rezulton në (të shumtën) një ndryshim të klasit të dytë në ${\mathcal {S}}$. Duhet të theksohet se veprimi ${\mathcal {S}}$ është një funksional, i.e., diçka që merr si inputin e saj një funksion dhe kthen një numër të vetëm, një madhësi skalare. Në terma të analizës funksionale, principi i Hamiltonit pohon se evolucioni i vërtete i një sistemi fizik jepet nga zgjidhja e ekuacionit funksional

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \mathbf {q} (t)}}=0$

Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit për integralin e veprimit

Kur kërkojmë që trajektorja e vërtete $\mathbf {q} (t)$ të jetë një pikë stacionare e funksionalit të veprimit ${\mathcal {S}}$ atëherë kjo është një mënyre ekuivalente si në rastin kur problemi shtrohet si një set ekuacionesh diferenciale $\mathbf {q} (t)$ (ekuacionet e Ojler-Lagranzhit), të cilat mund të derivohen si më poshtë.

Le $\mathbf {q} (t)$ të përfaqësoje evoluimin e vërtete të një sistemi mes dy gjendjeve specifike $\mathbf {q} _{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {q} (t_{1})$ dhe $\mathbf {q} _{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {q} (t_{2})$ në dy kohë specifike $t_{1}$ dhe $t_{2}$, le ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)$ të jete një perturbim i vogël që merr vlerën zero në dy pikat kufitare të trajektores

${\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0$

Në rendin e parë ky perturbim ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)$, tregon ndryshimin e veprimit funksional $\delta {\mathcal {S}}$ që është

$\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left[L(\mathbf {q} +{\boldsymbol {\varepsilon }},{\dot {\mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}})-L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right]dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}+{\dot {\boldsymbol {\varepsilon }}}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt$

ku e kemi zgjeruar funksionin e Lagranzhit L në klasë të parë të perturbimit ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)$.

Tani zbatojmë teknikën e integrimit me pjesë në termat e fundi të rezultatit

$\delta {\mathcal {S}}=\left[{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;\left({\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt$

Nga kondicionet në pikat kufitare ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{1})={\boldsymbol {\varepsilon }}(t_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ 0$ shikojmë se termi i pare thjeshtohet

$\delta {\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\;{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}\right)\,dt$

Principi i Hamiltonit kërkon që ndryshimet në rend të pare $\delta {\mathcal {S}}$ të jete zero për të gjitha perturbimet e mundshme ${\boldsymbol {\varepsilon }}(t)$ kjo domethënë që shtegu i vërtete i pikës stacionare të funksionalit të veprimit ${\mathcal {S}}$ të jetë (ose një minimum, maksimum ose pike infleksioni). Kjo kërkese mund të kënaqet vetëm neqoftese

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0$   Ekuacionet e Ojler-Lagranzhit

Këto ekuacione quhen ekuacionet e Ojler- Lagranzhit dhe përdoren për të zgjidhur një numër të madh problemesh variacioni.

Shembull : një pike lëndore në koordinata polare

Shembuj të thjeshte tregojnë fuqinë e vërtete të parimit të veprimit nëpërmjet ekuacioneve të Ojler-Lagranzhit. Një thërrmije e lire, pra në mungese të një force (me mase m dhe shpejtësi v) në hapësirën euklidiane lëviz në një vije të drejte. Duke përdorur ekuacionet e Ojler-Lagranzhit, në koordinata polare kjo mund të ilustrohet si më poshtë. Në mungese të një potenciali, funksioni Lagrazhian është i barabarte me energjinë kinetike

$L={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}\right)$

në koordinata ortonormale (x,y), ku pika paraqet diferencimin në lidhje me parametrin e kurbës (kjo zakonisht është koha, t).

Në koordinata polare (r, φ) energjia kinetike, pra në këtë rast funksioni Lagrazhian është :

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\right).$

Ku rrezja r dhe φ komponentët e ekuacioneve të Ojler-Lagranzhit shndërrohen respektivisht në :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial r}}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {r}}-r{\dot {\varphi }}^{2}=0$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial \varphi }}=0\qquad \Rightarrow \qquad {\ddot {\varphi }}+{\frac {2}{r}}{\dot {r}}{\dot {\varphi }}=0.$

Zgjidhja e këtyre ekuacioneve jepet nga

$r\cos \varphi =at+b$

$r\sin \varphi =ct+d$

për një set konstantesh a, b, c, d të caktuara nga të dhënat fillestare. Pra, më të vërtete, zgjidhja jepet nga një vije e drejte e dhëne në koordinata polare.

Parimi i veprimit në mekaniken kuantike dhe teorinë kuantike të fushës

Në mekanikën kuantike, sistemi nuk ndjek një rrugë të vetme veprimi e cila është e palëvizshëme, por sjellja e sistemit varet mbi të gjitha shtigjet e imagjinueshëm dhe vlerën e veprimit të tyre. Veprim përkatës në rrugë të ndryshme është përdorur për të llogaritur integralet e shtegjeve, që jep amplitudën e probabilitetit te rezultateve të ndryshme.

Edhe pse ekuivalent në mekanikën klasike me ligjet e Njutonit, parimi i veprimit është i përshtatshëm më mirë për përgjithësime dhe luan një rol të rëndësishëm në fizikës moderne. Në të vërtetë, ky parim është një nga përgjithësimet e madhe në shkencën fizike. Në veçanti, ajo është vlerësuar plotësisht dhe mirë kuptohet brenda mekanikës kuantike. Formulimi i integraleve te shtegjeve i Richard Feynman për mekanikën kuantike është i bazuar në një parim stacionar të veprimit, duke përdorur integralet e shtegjeve. Ekuacionet e Maksuellit mund të rrjedhin si kushtet të veprimit stacionar.

Implikimet filozofike të parimit të Hamiltonit

Në formulimin njutonian të mekanikes klasike një forcë e zbatuar në një trup prodhon një lëvizje. Pra kemi një efekt të shkaktuar nga një kauze e caktuar e cila në këtë rast është forca. Nga ana tjetër principi i Hamiltonit pohon se lëvizja e një trupi i atribuohet natyrës e cila ka një qëllim të caktuar, ky qellim është minimizimi i integralit të veprimit ose e thëne në një gjuhe më të thjeshtë natyra kërkon që të minimizoje energjinë e harxhuar në një sistem gjatë një procesi.

Referime

• W.R. Hamilton, "On a General Method in Dynamics.", Philosophical Transaction of the Royal Society Part I (1834) p.247-308 Arkivuar 27 shtator 2011 tek Wayback Machine; Part II (1835) p. 95-144 Arkivuar 27 shtator 2011 tek Wayback Machine.

• Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 35-69.

• Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover), pp.2-4.

• Arnold VI. (1989) Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed., Springer Verlag, pp. 59-61.