Në analizë , integimi me pjesë është një rregull që transformon integralin e prodhimit të funksioneve në integrale më të thjeshta. Ky rregull bazohet tek formula për derivatin e prodhimit të funksioneve.
Nëqoftëse u = f (x ), v = g (x ), dhe diferencialet du = f '(x ) dx dhe dv = g '(x ) dx , atëhere rregulli i integrimit me pjesë pohon se
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
,
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du,\!}
pra:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx.\!}
Supozoni se f (x ) dhe g (x ) janë dy funksione të diferencueshme dhe të vazhdueshme. Rregulli i prodhimit pohon se
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
(
x
)
g
′
(
x
)
+
f
′
(
x
)
g
(
x
)
{\displaystyle (f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)\!}
Duke integruar të dyja anët marrim:
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
+
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle f(x)g(x)=\int f(x)g'(x)\,dx+\int f'(x)g(x)\,dx\!}
Duke rriregulluar termat kemi:
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!}
Nga barazimi i mëlartëm marrim rregullin e integrimit me pjesë, i cili pohon se, në një interval të dhënë me pika fundore a dhe b ,
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
a
b
−
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx\!}
ku përdorim simbolikën e zakonshme
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
a
b
=
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
.
{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).\!}
Rregulli del të jetë i vërtetë duke përdorur rregullin e prodhimit për derivatet dhe teoremën themelore të analizës matematike . pra
f
(
b
)
g
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
a
)
=
∫
a
b
d
d
x
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
d
x
=
∫
a
b
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(b)g(b)-f(a)g(a)&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dx}}(f(x)g(x))\,dx\\&=\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx+\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.\end{aligned}}}
Në tekstet shkollore, rregulli jepet duke përdorur integralin e pacaktuar në formën
∫
f
(
x
)
g
′
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
g
(
x
)
−
∫
f
′
(
x
)
g
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int f(x)g'(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)\,dx\!}
ose , nqs u = f (x ), v = g (x ) dhe diferencialet du = f ′(x ) dx dhe dv = g ′(x ) dx , atëhere merr formën :
∫
u
d
v
=
u
v
−
∫
v
d
u
.
{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\!}
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49294a35a5ee002c83baccc836bf0f536d8d1dbf)
![{\displaystyle \left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}=f(b)g(b)-f(a)g(a).\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0c6b3125cd10b339b78175a4328bea6ec41eeb7)
