Lëkundjet e membranës elastike

Vibrimet e një daulleje rrethore ideale, e cila konsiston prej një membrane elastike rrethore me trashësi uniforme e fiksuar te një kornize rrethore, janë zgjidhje të ekuacionit të valës me kondita kufitare zero.

Një nga shumë mënyrat e mundshme të vibrimit të një daulleje rrethore ideale (moda me notacionin e mëposhtëm). Mënyra të tjera tregohen në fund të artikullit.

Ekziston një numër i pafundmë mënyrash sipas të cilave një daulleje mund të vibrojë, në varësi të formës së daulles në një kohë fillestare, dhe shpejtësisë së ndryshimit të formës së daulles në një kohë fillestare. Duke përdorur metodën e ndarjes së variablave, është e mundur të gjehet një koleksion i "thjeshtë" mënyrash vibrimi, si dhe mund të provohet se çdo vibrim sado kompleks i daulles mund të dekompozohet si një kombinim linear i vibrimeve më të thjeshta.

ProblemiRedakto

Konsideroni një disk të hapur   me rreze   me qendër në origjinën e daulles, i cili përfaqëson formën e fiksuar të daulles. Në çdo kohë   lartësia e formës së daulles tek një pikë    e matur nga forma e "fiksuar" do të jepet nga   e cila mund të merret me vlera pozitive ose negative. Le   të përfaqësojë kufirin e   pra, rrethi me rreze   me qendër në origjinë, e cila përfaqëson një kornizë të palëvizshme në të cilën membrana e daulles është e fiksuar.

Ekuacioni matematik që përshkruan vibrimin e daulles është ekuacioni i valës me kondita kufitare zero,

 
 

Këtu,   është një konstante pozitive, e cila jep "shpejtësinë" e vibrimit.

Për shkak të gjeometrisë rrethore, është shumë e përshtatshme përdorimi i koordinatave polare,   dhe   Tani, ekuacioni i mësipërm mund të shkruhet si

 
 

Rasti me simetri rrezoreRedakto

Ne do të studiojmë në fillim rastin e mënyrave të mundshme të vibrimit te një daulleje rrethore që kanë simetri rrezore. Në këtë rast, funksioni   nuk varet tek këndi   kështu që ekuacioni thjeshtohet dhe merr formën

 

Tani ne kërkojmë për zgjidhje duke përdorur metodën e ndarjes se variablave,   Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin e mëlartëm dhe duke pjesëtuar te dy anët me   marrim

 

Ana e majte e këtij barazimi nuk varet tek   dhe ana e djathte nuk varet tek   kështu që nga kjo del se të dyja anët janë të barabartat me një konstante   Marrim kështu dy ekuacione për   dhe   :

 
 

Ekuacioni për   ka zgjidhje te cilat rriten ose zvogëlohen në mënyre eksponenciale për   janë lineare ose konstante për   dhe janë periodike për   Fizikisht pritet që zgjidhja e problemit të daulles vibruese të jetë oshiluese në kohë, kështu që kjo lë vetëm rastin e tretë,   kur   për një numër   Atëherë,   është një kombinim linear i funksioneve sinus dhe kosinus,

 

Duke u kthyer tek rasti i përgjithshëm për   me observimin që   dhe te gjitha zgjidhjet e këtij ekuacioni diferencial të rendit të dytë janë kombinime lineare të funksioneve Bezel të rendit 0,

 

Funksioni Bezel   nuk ka kufi për   kështu që kjo rezulton në një zgjidhje pa kuptim fizik për daullen vibruese, kjo do të thotë se konstantja   duhet të jetë zero. Gjithashtu do supozojmë se   sepse kjo konstante mund të absorbohet lehte ne ndonjë konstante tjetër më vonë   dhe   që vinë nga   Nga kjo del që

 

Kërkesa që lartësia   e membranës të jetë zero tek kufiri i daulles rezulton në konditën

 

Funksioni Bezel   ka një numër të pafundme rrënjësh pozitive,

 

Nga kjo marrim   për   kështu që

 

Pra, zgjidhjet me simetri rrezore   te membranës vibruese që mund të jepen me mënyrene e ndarjese se variablave janë

  for  

ku  

Rasti i përgjithshëmRedakto

Rasti i përgjithshëm, ku   varet edhe tek këndi   trajtohet në një mënyre shumë të ngjashme. Tani supozojmë se ekziston një zgjedhje ku variablat mund të ndahen,

 

Duke e zëvendësuar këtë në ekuacionin valor dhe duke aplikuar metodën e ndarjes se variablave, marrim

 

ku   është një konstante. Si më parë, nga ekuacioni për   del që   me   dhe

 

Nga ekuacioni

 

marrim, duke shumëzuar të dyja anët me   dhe duke bërë ndarjen e variablave, marrim

 

dhe

 

për një konstante   Since   është periodike, me periodë     e cila është një variabël këndore, nga kjo del që

 

ku   dhe   dhe   janë disa konstante. Kjo implikon që  

Po të kthehemi prapa tek ekuacioni për   zgjidhja e tij jepet nga një kombinim linar i funksioneve Bezel   dhe   Me një argument të ngjashëm si në seksioni e mëparshëm, arrimë tek

     

ku   me   e cila është rrënja pozitive e  -te e  

Më lart treguam që te gjitha zgjidhjet në të cilat variablat janë të pavarura për një daulle vibruese rrethore janë të formës

 

për  .

ShënimRedakto

Duhet theksuar se zgjidhja e mëlartme merr parasysh disa supozime ideale të cilat janë të inkarnuara në ekuacionin e valës. Një simulim kompjuterik i problemit te mësipërm do të ketë një gabim të caktuar (zakonisht rreth 5 %) në varësi te metodës së përdorur.

Animime të disa modave të vibrimitRedakto

Shikoni gjithashtuRedakto

ReferimeRedakto

  • H. Asmar, Nakhle (2005). Partial differential equations with Fourier series and boundary value problems. Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall. ff. page 198. ISBN 0-13-148096-0. Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtje CS1: tekst shtesë (link)