Modeli Kronig-Penny

Në mekanikën kuantike, thërrmija në një latice një-dimensionale është një problem që shfaqët në një model periodik të një latice kristalore. Problemi mund të thjeshtohet nga potenciali i barrierës infinite 3D (thërrmija në kuti) në rastin një dimensional. Potenciali shkaktohet nga jonet në një strukturë periodikë të kristalit të cilat krijojnë një fushë elektromagnetike në mënyrë që elektronet ti nënshtrohen një potenciali të rregullt brenda laticës. Ky është një zgjerim i modelit të elektroneve të lira që merr parasysh së potenciali brenda laticës është zëro.

Përcaktimi i problemit

Kur flasim për materialët e ngurta, e kemi fjalën për kristalet - të cilat kanë struktura që jepen nga një latice periodikë. Këtu do të diskutojmë një latice 1D më jonë pozitivë. Le të kemi një hapësirë a midis dy jonesh, potenciali në laticë do të dukët si në figurë :

Paraqitja matematike e potencialit është një funksion periodik me një periodë a.

Sipas teoremës së Blokut, funksionivalor që jep zgjidhjen e ekuacionit të Shrodingerit kur potenciali është periodik, mund të shkruhet si :

$\psi (x)=e^{ikx}u(x).\,\!$

Ku u(x) është një funksion periodik që kënaq relacionet :

$u(x+a)=u(x)\,\!$

$u'(x+a)=u'(x).\,\!$

Kur afrohemi pranë anëve të laticës hasim në problemë më kondicionet kufitarë. Pra, mund ta paraqesim laticën e ionëve si një unazë që kënaq kondicionet kufitare Born von Karman. Neqoftese L është gjatësia e laticës në mënyrë që L >> a, atëherë numri i ioneve në laticë është i madh kështu që kur marrim parasysh një jon rrethinat e tij janë linearë, dhe funksioni valor i elektronit ngelët i pandryshueshëm. Tani në vend të, dy konditave kufitarë marrim një konditë kufitarë rrethorë :

$\psi (0)=\psi (L).\,\!$

Neqoftese N është numri i joneve në një laticë, atëherë marrim relacionin : aN = L. Duke zëvendësuar konditat kufitarë dhe duke aplikuar teoremën e Blokut marrim rezultatin që nxjerr kuantizimin e k :

$\psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)\,\!$

$u(0)=e^{ikL}u(Na)\rightarrow e^{ikL}=1\,\!$

$\Rightarrow kL=2\pi n\rightarrow k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {N \over 2}\right).\,\!$

Modeli Kronig-Penney

Në mënyrë që ta thjeshtojmë problemin potenciali përafrohet nga një potencial drejtkëndor :

Dukë përdorur teorëmën e Blokut, duhet që të gjejmë një zgjidhje vetëm për një periodë, sepse meqenëse ajo zgjidhja është e vazhdueshme dhe e lëmuar, si dhe të sigurohemi që funksioni u(x) është i vazhdueshëm dhe i lëmuar.

Marrim në konsideratë një periodë të vetme të potencialit :
Kemi dy rajone. Po ta zgjidhim në mënyrë të pavarur seicilen marrim :

$0<x<a-b:\,\!$

${-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=E\psi \,\!$

$\Rightarrow \psi =Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}\quad \left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\,\!$

$-b<x<0:\,\!$

${-\hbar ^{2} \over 2m}\psi _{xx}=(E+V_{0})\psi \,\!$

$\Rightarrow \psi =Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}\quad \left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\,\!$

Në mënyre që të gjejmë u(x) në çdo rajon duhet të manipulojmë funksionin valor të elektronit :

$\psi (0<x<a-b)=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\cdot \left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\,\!$

$\Rightarrow u(0<x<a-b)=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\,\!$

Në të njëjtën mënyre :

$u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.\,\!$

Në mënyre që të plotësojmë zgjidhjen duhet të sigurohemi që funksioni i probabilitetit është i vazhdueshëm dhe i lëmuar, pra :

$\psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).\,\!$

Dhe që u(x) dhe u'(x) janë periodike

$u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).\,\!$

Këto kondita japin matricën e mëposhtme :

${\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.\,\!$

Në mënyre që të mos marrim zgjidhjet elementare, percatori i matricës duhet të jetë 0. Kjo jep shprehjen e mëposhtme :

$\cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].\,\!$

Në mënyre që ta thjeshtojmë edhe me tej shprehjen, bëjmë përafrimet e mëposhtme :

$b\rightarrow 0\ ;\ V_{0}\rightarrow \infty \ ;\ V_{0}b=\mathrm {constant} \,\!$

$\Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} \ ;\ \alpha ^{2}b\rightarrow 0\,\!$

$\Rightarrow \beta b\rightarrow 0\ ;\ \sin(\beta b)\rightarrow \beta b\ ;\ \cos(\beta b)\rightarrow 1.\,\!$

Shprehja tani është :

$\cos(ka)=\cos(\alpha a)-P{\sin(\alpha a) \over \alpha a}\qquad \left(P={\beta ^{2}ab \over 2}\right).\,\!$

Shikoni gjithashtu

• Ralph Kronig
• Modeli i elektroneve të lira
• Struktura kristalore
• Funksionet Mathieu

Lidhje te jashtme

• 1-D periodic potential applet
• "The Kronig-Penney Model" nga Michael Croucher, një llogaritje interaktive e potencialit 1d periodik duke përdorur Matematika, nga The Wolfram Demonstrations Project.