Mosbarazimi i Markovit

Në teorinë e probabilitetit, mosbarazimi i Markovit jep një kufi të sipërm për probabilitetin që një funksion jo-negativ i një ndryshoreje rasti është më i madh ose i barabartë me një konstante pozitive. Është emërtuar sipas matematikanit rus Andrej Markov, megjithëse u shfaq më herët në veprën e Pafnuti Çebishevit (mësues i Markovit), dhe shumë burime, veçanërisht në analizë, i referohen si mosbarazimi i Çebishevit (nganjëherë, duke e quajtur atë mosbarazimi i parë Çebishev, ndërsa duke iu referuar mosbarazimit të Çebishevit si mosbarazimi i dytë Çebishev) ose pabarazia e Bienaymé .

Mosbarazimi i Markovit jep një kufi të sipërm për masën e grupit (treguar me të kuqe) ku $f(x)$ tejkalon një nivel të caktuar $\varepsilon$ . Lidhja kombinon nivelin $\varepsilon$ me vlerën mesatare të $f$ .

Mosbarazimi i Markovit (dhe mosbarazimet e tjera të ngjashme) lidhin probabilitetet me pritshmëritë dhe sigurojnë kufij (shpesh të lirshëm, por ende të dobishëm) për funksionin e shpërndarjes mbledhëse të një ndryshoreje të rastësishme.

Duhet theksuar se mosbarazimi i Markovit është një kufi i sipërm. Kjo do të thotë se ka barazime (si ai i Çebishevit) që japin rezultate në një interval më të ngushtë.

Pohim

Nëse $X$ është një ndryshore e rastit jonegative dhe $a>0$, atëherë probabiliteti që $X$ është të paktën $a$ është e shumta pritja matematike e $X$ thyer për $a$ :

$\operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{a}}.$

Le të jetë $a={\tilde {a}}\cdot \operatorname {E} (X)$ (ku ${\tilde {a}}>0$ ); atëherë ne mund ta rishkruajmë mosbarazimin e mëparshëm si

$\operatorname {P} (X\geq {\tilde {a}}\cdot \operatorname {E} (X))\leq {\frac {1}{\tilde {a}}}.$

Në gjuhën e teorisë së masës, mosbarazimi i Markovit thotë se nëse $(X,\Sigma ,\mu )$ është një hapësirë matëse, $f$ është një funksion i matshëm i zgjeruar me vlera reale, dhe ε > 0, atëherë

$\mu (\{x\in X:|f(x)|\geq \varepsilon \})\leq {\frac {1}{\varepsilon }}\int _{X}|f|\,d\mu .$

Versioni i zgjeruar për funksionet jozbritëse

Nëse $\phi$ është një funksion jonegativ jozbritës, $X$ është një ndryshore e rastit (jo domosdoshmërisht jonegative), dhe $\phi (a)>0$, atëherë

$\operatorname {P} (X\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (\varphi (X))}{\varphi (a)}}.$

Një përfundim i menjëhershëm, duke përdorur momente më të larta të $X$ të përcaktuar në vlera më të mëdha se 0, është

$\operatorname {P} (|X|\geq a)\leq {\frac {\operatorname {E} (|X|^{n})}{a^{n}}}.$

1. Rezultati "monotonik" mund të demonstrohet nga:

   $\operatorname {P} (|X|\geq a)=\operatorname {P} {\big (}\varphi (|X|)\geq \varphi (a){\big )}\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (\varphi (|X|))}{\varphi (a)}}$

2. Rezultati që, për një ndryshore të rastit jonegative X, funksioni kuantile i $X$ plotëson:

   $Q_{X}(1-p)\leq {\frac {\operatorname {E} (X)}{p}},$

   provën duke përdorur

   $p\leq \operatorname {P} (X\geq Q_{X}(1-p))\,{\overset {\underset {\mathrm {MI} }{}}{\leq }}\,{\frac {\operatorname {E} (X)}{Q_{X}(1-p)}}.$

3. Le të jetë $M\succeq 0$ një ndryshore e rastit me vlerë matrice të vetëbashkuar dhe a > 0 . Pastaj

   $\operatorname {P} (M\npreceq a\cdot I)\leq {\frac {\operatorname {tr} \left(E(M)\right)}{na}}.$

   mund të tregohet në mënyrë të ngjashme.

Shembuj

Duke supozuar se asnjë e ardhur nuk është negative, mosbarazimi i Markovit tregon se jo më shumë se 1/5 e popullsisë mund të ketë më shumë se 5 herë të ardhurat mesatare.