Ndryshorja e rastit

Një ndryshore e rastësishme është një formalizim (zyrtarizim) matematikor i një madhësie ose objekti që varet nga ngjarje të rastësishme. Është një hartë ose një funksion nga rezultatet e mundshme (p.sh., anët e sipërme të mundshme të një monedhe të kthyer si koka $H$ dhe pili $T$ ) në një hapësirë mostre (p.sh. grupi $\{H,T\}$ ) në një hapësirë të matshme, shpesh numrat realë (p.sh. $\{-1,1\}$ në të cilën -1 që korrespondon me $H$ dhe 1 që korrespondon me $T$ ).

Ky grafik tregon se si ndryshorja e rastësishme është një funksion nga të gjitha rezultatet e mundshme në vlerat reale. Ai gjithashtu tregon se si përdoret ndryshorja e rastësishme për përcaktimin e funksioneve të masës së probabilitetit.

Joformalisht, rastësia zakonisht përfaqëson një element themelor të shansit, si p.sh. në hedhjen e një zari ; mund të përfaqësojë gjithashtu pasiguri, si p.sh. gabim në matje . Megjithatë, interpretimi i probabilitetit është filozofikisht i ndërlikuar, madje edhe në raste specifike nuk është gjithmonë i drejtpërdrejtë. Analiza thjesht matematikore e variablave të rastësishme është e pavarur nga vështirësi të tilla interpretuese dhe mund të bazohet në një strukturë rigoroze aksiomatike.

Në gjuhën formale matematikore të teorisë së matjes, një ndryshore e rastit përkufizohet si një funksion i matshëm nga një hapësirë matëse probabiliteti (e quajtur hapësira e kampionimit ) në një hapësirë të matshme . Kjo lejon marrjen në konsideratë të masës shtytëse, e cila quhet shpërndarja e ndryshores së rastësishme; shpërndarja është pra një masë probabiliteti në grupin e të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastit. Është e mundur që dy variabla të rastësishëm të kenë shpërndarje identike, por të ndryshojnë në mënyra të rëndësishme; për shembull, ato mund të jenë të pavarura .

Sipas George Mackey, Pafnuty Chebyshev ishte personi i parë që "mendoi sistematikisht në terma të ndryshoreve të rastësishme".

E ç'është ndryshorja e rastit?

Një ndryshore e rastit $X$ është një funksion i matshëm $X\colon \Omega \to E$ nga një hapësirë kampionimi ose ndryshe ngjarje $\Omega$ si një grup rezultatesh të mundshme për një hapësirë të matshme $E$ . Përkufizimi teknik aksiomatik kërkon hapësirën ngjarjeve $\Omega$ të jetë një hapësirë mostër e një probabiliteti të trefishtë $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ (shih përkufizimin e teorisë së masës ). Një ndryshore e rastësishme shpesh shënohet me shkronja të mëdha romake si p.sh $X$, $Y$, $Z$, $T$ .

Probabiliteti që $X$ merr një vlerë në një grup të matshëm $S\subseteq E$ shkruhet si

$\operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})$

Në terma më të drejtpërdrejtë dhe më pak formalë, nëse kemi bashkësinë e ngjarjeve $\Omega$, atëherë gjendet një funksion hartëzues nga $\Omega$ në ${\mathcal {X}}$ që është hapësira e rezultateve të ndryshores të rastit. Pra ngjarjet nëpërmjet këtij funksioni kthehen në numra. Më pas me anë të një funksioni tjetër këta numra kthehen në probabilitete.

Lexuesi natyrshëm shtron pyetjen: "Përse nuk mund të hartëzohen direkt ngjarjet në probabilitete?". Kjo bëhet sepse ekziston një shpërndarje matematike e përshtatshme e cila kur merr në hyrje një numër (korresponduesin e ngjarjes që duam të gjejmë probabilitetin), jep probabilitetin shoqërues të këtij numri.