Përafrimi i Spouge

Në matematikë, përafrimi i Spouge është një formulë për llogaritjen e një përafrimi të funksionit gama . Ai u emërtua sipas John L. Spouge, i cili përcaktoi formulën në një punim të vitit 1994. Formula është një modifikim i përafrimit të Stirlingut, dhe ka formën

$\Gamma (z+1)=(z+a)^{z+{\frac {1}{2}}}e^{-z-a}\left(c_{0}+\sum _{k=1}^{a-1}{\frac {c_{k}}{z+k}}+\varepsilon _{a}(z)\right)$

ku a është një numër i plotë pozitiv arbitrar dhe koeficientët janë dhënë nga

${\begin{aligned}c_{0}&={\sqrt {2\pi }}\\c_{k}&={\frac {(-1)^{k-1}}{(k-1)!}}(-k+a)^{k-{\frac {1}{2}}}e^{-k+a}\qquad k\in \{1,2,\dots ,a-1\}.\end{aligned}}$

Spouge ka vërtetuar se, nëse Re( z ) > 0 dhe a > 2, gabimi relativ në hedhjen e ε _a ( z ) kufizohet me

$a^{-{\frac {1}{2}}}(2\pi )^{-a-{\frac {1}{2}}}.$

Formula është e ngjashme me përafrimin e Lanczosit, por ka disa veçori të dallueshme. Megjithëse formula Lanczos shfaq konvergjencë më të shpejtë, koeficientët e Spouge-it janë shumë më të lehtë për t'u llogaritur dhe gabimi mund të vendoset në mënyrë arbitrare të ulët. Prandaj formula është e përdorshme për vlerësimin me saktësi arbitrare të funksionit gama. Megjithatë, duhet treguar kujdes i veçantë për të kapur saktësi të mjaftueshme gjatë llogaritjes së shumës për shkak të magnitudës së madhe të koeficientëve c _k, si dhe shenjës së tyre të alternuar. Për shembull, për a = 49, duhet llogaritur shuma duke përdorur rreth 65 shifra dhjetore të saktësisë në mënyrë që të merren 40 shifrat dhjetore të premtuara të saktësisë.