Pabarazia e Benetit

Në teorinë e probabilitetit, pabarazia e Benetit siguron një kufi të sipërm në probabilitetin që shuma e ndryshoreve rasti të pavarura të shmanget nga pritja matematike e saj me më shumë se çdo shumë e specifikuar. Pabarazia e Benetit u vërtetua nga George Bennett i Universitetit të Uellsit të Ri Jugor në 1962.

Pohimi

Le të jenë X₁, … X_n ndryshore të rastit të pavarura me variancë të fundme. Më tej supozoni X_i ≤ a pothuajse me siguri për të gjithë i, dhe përcaktoni $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}-\operatorname {E} (X_{i})$ dhe $\sigma ^{2}=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {E} (X_{i}-\operatorname {E} X_{i})^{2}.$ Pastaj për çdo t ≥ 0 ,

$\Pr \left(S_{n}>t\right)\leq \exp \left(-{\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}h\left({\frac {at}{\sigma ^{2}}}\right)\right),$

ku h(u) = (1 + u)log(1 + u) – u dhe log shënon logaritmin natyror.

Shembull

Supozoni se çdo X_i është një ndryshore e rastit e pavarur dyjare me probabilitet p . Atëherë pabarazia e Benetit pohon se:

$\Pr \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}>pn+t\right)\leq \exp \left(-nph\left({\frac {t}{np}}\right)\right).$

Për $t\geq 10np$, $h({\frac {t}{np}})\geq {\frac {t}{2np}}\log {\frac {t}{np}},$ kështu që

$\Pr \left(\sum _{i=1}^{n}X_{i}>pn+t\right)\leq \left({\frac {t}{np}}\right)^{-t/2}$

për $t\geq 10np$ .

Në të kundërt, pabarazia e Hoeffding jep një kufi të $\exp(-2t^{2}/n)$ dhe pabarazia e parë e Bernsteinit jep një kufi të $\exp(-{\frac {t^{2}}{2np+2t/3}})$ . Për $t\gg np$, jep pabarazia e Hoeffding $\exp(-\Theta (t^{2}/n))$, jep Bernstein $\exp(-\Theta (t))$, dhe Bennett jep $\exp(-\Theta (t\log {\frac {t}{np}}))$ .