Pika (gjeometri)

Në gjeometrinë klasike Euklidiane, një pikë është një nocion primitiv që modelon një vendndodhje të saktë në hapësirë, dhe nuk ka gjatësi, gjerësi ose trashësi. Në matematikën moderne, një pikë i referohet në përgjithësi një elementi të një grupi të quajtur hapësirë .

Të qënit një nocion primitiv do të thotë që një pikë nuk mund të përcaktohet në terma të objekteve të përcaktuara më parë. Kjo do të thotë, një pikë përcaktohet vetëm nga disa veti, të quajtura aksioma, që duhet të plotësojë; për shembull, "ka saktësisht një vijë që kalon nëpër dy pika të ndryshme" .

Pikat në gjeometrinë Euklidiane

Një grup i fundëm pikash (me të kuqe) në rrafshin Euklidian .

Pikat, të konsideruara në kuadrin e gjeometrisë Euklidiane, janë një nga objektet më themelore. Euklidi fillimisht e përcaktoi pikën si "ajo që nuk ka pjesë". Në rrafshin dydimensional Euklidian, një pikë përfaqësohet nga një çift i renditur $(x,y)$ numrash, ku numri i parë përfaqëson me marrëveshje horizontalen dhe shpesh shënohet me x, dhe numri i dytë përfaqëson me marrëveshje vertikalen . dhe shpesh shënohet me y . Kjo ide përgjithësohet lehtësisht në hapësirën Euklidiane tredimensionale, ku një pikë përfaqësohet nga një treshe e renditur $(x,y,z)$ me numrin e tretë shtesë që përfaqëson thellësinë dhe shpesh shënohet me z . Përgjithësimet e mëtejshme përfaqësohen nga një grup i renditur prej n termash, $(a_{1},a_{2},...,a_{n})$ ku $n$ është dimensioni i hapësirës në të cilën ndodhet pika.

Përveç përcaktimit të pikave dhe ndërtimeve të lidhura me pikat, Euklidi postuloi gjithashtu një ide kryesore rreth pikave, që çdo dy pika mund të lidhet me një vijë të drejtë. Kjo konfirmohet lehtësisht nën zgjerimet moderne të gjeometrisë Euklidiane dhe pati pasoja të qëndrueshme në prezantimin e saj, duke lejuar ndërtimin e pothuajse të gjitha koncepteve gjeometrike të njohura në atë kohë. Megjithatë, postulimi i pikave i Euklidit nuk ishte as i plotë dhe as përfundimtar, dhe ai herë pas here supozonte fakte rreth pikave që nuk vinin drejtpërdrejt nga aksiomat e tij, si renditja e pikave në vijë ose ekzistenca e pikave specifike. Përkundër kësaj, zgjerimet moderne të sistemit shërbejnë për të hequr këto supozime.

Dimensioni i një pike

Ekzistojnë disa përkufizime jo-të njëvlerëshme të dimensionit në matematikë. Në të gjitha përkufizimet e zakonshme, një pikë është 0-dimensionale.

Dimensioni Hausdorff

Le të jetë $X$ një hapësirë metrike . Nëse $S\subset X$ dhe $d\in [0,\infty )$, përmbajtja e Hausdorffit d -dimensionale e S është infimum i grupit të numrave $\delta \geq 0$ i tillë që ka një koleksion (të indeksuar) topash . $\{B(x_{i},r_{i}):i\in I\}$ duke mbuluar $S$ me $r_{i}\geq 0$ për çdo $i\in I$ që kënaq$$\sum _{i\in I}r_{i}^{d}<\delta .$$Dimensioni Hausdorffit i $X$ është përcaktuar nga$$\operatorname {dim} _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.$$Një pikë ka dimensionin Hausdorff 0 sepse mund të mbulohet nga një top i vetëm me rreze arbitrare të vogël.