Hape menynë kryesore

Bashkësia është koncepti themelor i matematikës bashkohore. Bashkësia përbëhet nga objektet të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit latin. Caktimi i bashkësive bëhet në dy mënyra :

  • Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.:
  • Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.:

Bashkësitë numerikeRedakto

Bashkësia e numrave natyral:  

Bashkësia e numrave të plotë:  

Bashkësia e numrave racional:  

Bashkësia e numrave real:  

Bashkësia e numrave kompleks:  

Bashkësia e numrave çift:   ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek:  ={1,3,5,7,9,...}

Veprimet me bashkësiRedakto

  • Prerja e bashkësive

Prerja e bashkësive   dhe   quhet bashkësia e cila i përmban elementet e   dhe  

figura.

  • Unioni (apo bashkimi) i bashkësive

Unioni i bashkësive   dhe   quhet bashkësia e cila ka të gjitha elementet e bashkësive   dhe  

figura. Për unionin e bashkësive vlejnë këto ligje :

  1. Ligji i indempotencës

 

  1. Ligji i kumutativ

 

  1. Ligji asociativ

 

  1. Ligji distribtiv
  1. Ligji distribtiv
  • Diferenca e bashkësive

Diferenca e bashkësive   dhe   quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë   që nuk i takojnë bashkësisë  

figura.

  • Diferenca simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive   dhe   quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive   dhe  

figura.

RelacionetRedakto

Nëse me   shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me   relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elemteve të  -së, atëherë për   themi se është relacion binar. Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e katrorit kartezian :  
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët   vlenë relacioni   i cili ka vetitë   dhe   atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin binarë.

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët   nga relacioni binar   rrjedhë   atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binarë simetrikë

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Transitiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët   nga relacionet binare   dhe   rrjedhë   atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv

Në të kundërtën nëse vlen:

themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë   i cili në bashkësinë   është refleksiv, simetrik dhe transitiv. Simboli i relacionit të ekuivalencës është "   " .
Relacionet më të rëndësishme të ekuivalencës janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i ekuivalencës mundë të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

Relacioni i renditjes është relacioni binarë   i cili në bashkësinë   është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë   në bashkësinë   është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian   i bashkësive jo të zbrazëta   dhe  . Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen :  

PasqyrimetRedakto

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë    quhet relacioni   ndërmjet dy bashkësive   dhe  , i cili ka këtë veti :

 

Elementet e bashkësisë   që pasqyrohen në bashkësinë   janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë   që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me   por me   etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

  • Shënimi simbolik i pasqyrimit

  ose  

  • Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
  • Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

 


  • Funksioni invers

Nëse për pasqyrimin   vlen që ç´do   element i   dhe ekziston një elementë   i tillë që :

 

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers   të pasqyrimit  .
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers   zakonisht shënohet si :  Për pasqyrimin   themi se është kodomen i domenit   dhe në të njëjtën kohë domeni   është kodomen i  .
Figura:

  • Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit   të bashkësisë   i përgjigjet (ekziston së paku një) element   i bashkësisë  , i tillë që në bashkësinë   ekziston së paku një element   i cili i përgjigjet  .Në gjuhen matematikore kjo duket si :

 

Veprimet binareRedakto

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

 

Ligjet e veprimeve binareRedakto

  1. ligji komutativ është nëse vlen: 
  2. ligji asociativ është nëse vlen: 
  3. ligji distributiv është nëse vlen:  
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët   është i përkufizuar veprimi binar   atëherë për   themi se është grupoid.
  • Po që se veprimi binarë   grupoidit   është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
  • Nëse në bashkësinë jo të zbrazët   ekziston një element   me vetinë:

  ,atëherë për   themi se është element neutral.

Grupet dhe nëngrupetRedakto

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe FushaRedakto

  • Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

  1.   është grup abelian,
  2.   është grupoid dhe
  3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.
  • Trupi

Trup quhet unaza asociative   nëse   është grup, ku  .

  • Fusha

Fushë quhet trupi   nëse shumëzimi është kumutativ.

Simbolet matematikoreRedakto

P