Bashkësitë

Bashkësia është koncepti themelor në matematikë. Bashkësia përbëhet nga objekte të cilat kanë së paku një veti të përbashkët. Objektet e bashkësisë i quajmë elemente të bashkësisë. Emërtimi dhe shënimi i bashkësive zakonisht bëhet me shkronja të mëdha të alfabetit.

Një bashkësi shumëkëndëshash në një diagram Euleri

Caktim i bashkësive bëhet në dy mënyra :

• Duke i numëruar elementet e bashkësisë nëse numri i elementeve është i vogël si p.sh.: $A=(a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n})$
• Duke i përshkruar vetit e përbashkëta të elementeve si p.sh.: $A=\{x|x{\text{ tek}}\}$

Bashkësitë numerike

Bashkësia e numrave natyral: $\mathbb {N} =\{\,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}$

Bashkësia e numrave të plotë: $\mathbb {Z} =\{\,\ldots ,-2,-1,0,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}$

Bashkësia e numrave racionalë: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}|m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$

Bashkësia e numrave real: $\mathbb {R} =\{\ x|-\infty <x<+\infty \,\}$

Bashkësia e numrave kompleks: $\mathbb {C} =\{\ x+iy|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,i={\sqrt {-1}}\,\}$

Bashkësia e numrave çift: $\mathbb {N_{+}} =\{\ 2n|n\in \mathbb {N} \land n\vdots 2\,\}$ ={2,4,6,8,...}

Bashkësia e numrave tek: $\mathbb {N_{-}} =\{\ n|x\in \mathbb {N} \land n\not \vdots 2\,\}$

1. Vetia e ndërrimit

$A\cup B=B\cup A$

2.Vetia e shoqërimit

$AU(BUC)=(AUB)UC$

1. Vetia e shpërndarjes

• Ndryshesa e bashkësive

Ndryshesa e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet e bashkësisë $A$ që nuk i takojnë bashkësisë $B$ ${\displaystyle }$ figura.

• Ndryshesa simetrike simetrike e bashkësive

Diferenca simetrike e bashkësive $A$ dhe $B$ quhet bashkësia e cila ka vetëm elementet jo të përbashkëta të bashkësive $A$ dhe $B$ ${\displaystyle }$ figura.

Relacionet

• Relacionet dyjare

Nëse me $A$ shënojmë bashkësinë jo të zbrazët dhe me $R$ relacionin (raportin, marëdhëniet ) mes elementeve të $A$-së, atëherë për $R$ themi se është relacion binar (dyjar). Relacion binar quhet çdo nënbashkësi e prodhimit kartezian : $AxB$
Vetit e relacionit binar janë:
Refleksiviteti Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ vlen relacioni $\rho$ i cili ka vetitë $aRb$ dhe $bRa$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar. ${\displaystyle }$ Në të kundërtën nëse vlen: ${\displaystyle }$ themi se kemi të bëjmë me relacion jorefleksiv.
Simetria Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ nga relacioni binar $R$ rrjedhë $bRa$ atëherë themi se kemi të bëjmë me një relacion binar simetrik ${\displaystyle }$ Në të kundërtën nëse vlen: ${\displaystyle }$ themi se kemi të bëjmë me relacion asimetrikë.
Kalimtare Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ nga relacionet binare $a\rho b$ dhe $b\rho a$ rrjedhë $aRc$ atëherë themi se kemi të bëjmë me relacion binar transitiv ${\displaystyle }$ Në të kundërtën nëse vlen: ${\displaystyle }$ themi se kemi të bëjmë me relacion intransitiv.

• Relacioni i njëvlershmërisë

Relacioni i ekuivalencës është relacioni binarë $R$ i cili në bashkësinë $A$ është refleksiv, simetrik dhe kalimtar. Simboli i relacionit të njëvlershmërisë është " $\sim$ " .
Relacionet më të rëndësishme të njëvlershmërisë janë barazia, paralelshmëria, kongruenca dhe ngjashmëria. Po ashtu ekuacioni i njëvlershmërisë mund të zbërthehet në klasa të ekuivalencës.

• Relacioni i renditjes

Relacioni i renditjes është relacioni binar $\rho$ i cili në bashkësinë $A$ është refleksiv, antisimetrik dhe transitiv.
Nëse relacioni i binarë $\rho$ në bashkësinë $A$ është irefleksivë, asimetrik dhe transitiv, atëherë themi se kemi të bëjmë me relacionin rigoroz ( të renditjes).

• Relacionet ndërmjet dy bashkësive

Relacion ndërmjet dy bashkësive është prodhimi kartezian $AxB$ i bashkësive jo të zbrazëta $A$ dhe $B$. Prodhimi kartezian është ç´do nënëbashkësi për të cilën vlen : $\rho =\left\{(a,b)|a\in A\land b\in B\land a\rho b\right\}$

Pasqyrimet

Pasqyrim (funksion, rifigurim ) i bashkësisë $A$ në $B$ quhet relacioni $\rho$ ndërmjet dy bashkësive $A$ dhe $B$, i cili ka këtë veti :

$(\forall x\in A)(\exists !y\in B)(x,y)\in \rho$

Elementet e bashkësisë $A$ që pasqyrohen në bashkësinë $B$ janë origjinal (zanafilla, fytyra) e pasqyrimi, ndërsa elementet përkatëse të bashkësisë $B$ që i shoqërohen origjinaleve quhen transformati (figura, përfytyrimi) i pasqyrimit. Pasqyrimet zakonisht nuk shënohen me $\rho$ por me $f,g,h,\psi$ etj. Shënimi i pasqyrimeve bëhet në disa mënyra varësisht nga lëmit në të cilën përdoret. Disa shembuj të shënimit të pasqyrimeve po i prezantojmë më poshtë.

• Shënimi simbolik i pasqyrimit

$f:A\to B$ ose $f:x\to y=f(x),\forall x\in A$

• Shënimi i pasqyrimeve te bashkësitë e fundme (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimeve në formë tabelore (me simbole te Wik-it ende nuk mundem)
• Shënimi i pasqyrimit si formulë matematikore

$f(x)=2x,x\in \mathbb {N}$

• Funksioni i anasjelltë

Nëse për pasqyrimin $f:A\to B$ vlen që ç´do $y$ element i $B$ dhe ekziston një elementë $x$ i tillë që :

$(\forall y\in B)(\exists !x\in A),g:y\to x=g(y)$

atëherë themi se kemi të bëjmë me pasqyrimin invers $g$ të pasqyrimit $f$.
Pasqyrimi invers ekziston vetëm për pasqyrimet bijektive.
Shënimi i pasqyrimit invers $f$ zakonisht shënohet si :$f^{-}$ Për pasqyrimin $f$ themi se është kodomen i domenit $f^{-}$ dhe në të njëjtën kohë domeni $f$ është kodomen i $f^{-}$.
Figura:

• Shumëzimi i funksioneve

Me shumëzimin e pasqyrimeve nënkuptojmë, shumëzimin e dy e më tepër pasqyrimeve (funksioneve), ku elementit $x$ të bashkësisë $A$ i përgjigjet (ekziston së paku një) element $y$ i bashkësisë $B$, i tillë që në bashkësinë $C$ ekziston së paku një element $z$ i cili i përgjigjet $y$.Në gjuhen matematikore kjo duket si :

$(\forall x\in A)(\exists !z\in C)(g\circ f):x\to z=g{f(x)}.$

Veprimet binare

Veprim binarë në matematik quhet pasqyrimi f në bashkësinë jo të zbrazët, i tillë që:

$f:A^{2}\to A$

Ligjet e veprimeve binare

1. ligji komutativ është nëse vlen:$(\forall a,b\in A)a\circ b=b\circ a.$
2. ligji asociativ është nëse vlen:$(\forall a,b,c\in A)(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c).$
3. ligji distributiv është nëse vlen: $(\forall a,b,c\in A)a\circ (b*c)=(a\circ b)*(a\circ c).$

• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ është i përkufizuar veprimi binar $\circ$ atëherë për $(A,\circ )$ themi se është grupoid.
• Po që se veprimi binarë $\circ$ grupoidit $(A,\circ )$ është asociativ, atëherë për të themi se është semigrup
• Nëse në bashkësinë jo të zbrazët $A$ ekziston një element $e$ me vetinë:

$(\forall a\in A)a\circ e=e\circ a=a$ ,atëherë për $e$ themi se është element neutral.

Grupet dhe nëngrupet

Arikulli kryesor: Teoria e grupeve

Teoria e grupeve, e lindur ne shekullin 19 si disipline matematike, është nje paraprires i matematikes moderne, sepse ndane perfaqesuesin (p.sh. numrat reale) nga struktura e brendeshme (ligjet e llogaritjes ne grupe).

Punime te medha për teoriene e grupeve vijne nder te tjere nga Evariste Galois, Niels Henrik Abel, Sophus Lie.

Unaza,Trupi dhe Fusha

• Unaza

Unazë është bashkësia jo e zbrazët që ka të përkufizua veprimet binare të mbledhjes dhe shumëzimit, ku

1. $(A,\oplus )$ është grup abelian,
2. $(A,\otimes )$ është grupoid dhe
3. shumëzimi është distributiv ndaj mbledhjes.

• Trupi

Trup quhet unaza asociative $(A,\oplus ,\otimes )$ nëse $(A_{1},\otimes )$ është grup, ku $A_{1}=A|\left\{0\right\}$.

• Fusha

Fushë quhet trupi $(A,\oplus ,\otimes )$ nëse shumëzimi është kumutativ.

Simbolet matematikore

P