Numrat natyralë

Numra natyralë (ose numrat natyrorë) janë numra të plotë si 1,2,3... (ndër këta numra nuk llogaritet numri zero por në kohët e fundit për përparësitë e tij që ka në bashkësinë e numrave natyral përfshihet edhe numri 0). Me fjalë tjera të gjithë numrat e plotë pozitivë konsiderohen numra natyralë :

$\mathbb {N} =\{\,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}$

Matematikani i njohur italian G.Peano (1858-1932) në vitin 1899 e aksiomatizoi aritmetikën e numrave natyralë.

Peano përfshiu në numrat natyralë edhe zeron :

$\mathbb {N} =\{\,0,1,2,3,\ldots ,n\}$

Përkufizimi aksiomatik i numrave natyralë:

Numër natyral quhet çdo elementet i bashkësisë jo të zbrazët $N$ në të cilen është përkufizuar relacioni " është pasardhës i drejtpërdrejtë i " që plotëson këto aksioma :

Aksiomat e Peanos

• 1.1 Aksioma - Ekziston numri natyror $\ 0$ i cili nuk është pasardhës i drejtpërdrejtë i asnjë numri natyral.
• 1.2 Aksioma - Për çdo numër natyror $a\in \mathbb {N}$ , ekiston vetëm një numër natyror $a^{\prime }$ që është pasardhës i tij,

$(\forall a,b\in \mathbb {N} )a=b\Rightarrow a^{\prime }=b^{\prime }$

• 1.3 Aksioma - Secili numër natyror $a^{\prime }\in \mathbb {N}$ është pasardhës i jo më shumë se një numri natyror $\ a$,

$(\forall a,b\in \mathbb {N} )a^{\prime }=b^{\prime }\Rightarrow a=b$

• 1.4 Aksioma e induksionit - Cilado bashkësi e numrave natyrore $\mathbb {M}$ që ka këto veti:

(a) $1\in \mathbb {M}$ dhe (b) $a\in \mathbb {M} \Rightarrow a^{\prime }\in \mathbb {M}$

përmban të gjithë numrat natyrore,

$\mathbb {M} =\mathbb {N} \Leftarrow {\begin{cases}\ 1\in \mathbb {M} \\a\in \mathbb {M} \Rightarrow a^{\prime }\in \mathbb {M} \end{cases}}$