Seria divergjente

 

Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal et c’est une honte qu’on ose y fonder aucune démonstration. ("Seritë divergjente në përgjithësi janë diçka vdekjeprurëse, dhe është turp që një provë të bazohet mbi to.")

N. H. Abel, letër drejtuar Holmboe, Janar 1826, riprintuar në volumin 2 të letrave të tij të mbledhura.

Në matematikë, një seri divergjente është një seri e pafundme që nuk është konvergjente, që do të thotë se vargu i pafundëm i shumave të pjesshme të serisë nuk ka një kufi të fundëm.

Nëse një seri konvergjon, termat individualë të serisë duhet t'i afrohen zeros (kusht i nevojshëm por i pamjaftueshëm). Kështu, çdo seri në të cilën termat individualë nuk i afrohen zeros divergjon. Megjithatë, konvergjenca është një kusht më i fortë: jo të gjitha seritë termat e të cilave i afrohen zeros konvergjojnë. Një kundërshembull është seria harmonike

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.$

Divergjenca e serisë harmonike u vërtetua nga matematikani mesjetar Nicole Oresme .

Në kontekste të specializuara matematikore, mund t'u caktohen objektivisht vlera serive të caktuara, vargjet e shumave të pjesshme të të cilave ndryshojnë, në mënyrë që ti jepet kuptim divergjencës së serisë. Një metodë mbledhore ose metodë përmbledhjeje është një funksion i pjesshëm nga grupi i serive në vlera. Për shembull, shuma Cesàro cakton seritë divergjente të Grandit

$1-1+1-1+\cdots$

vlerën  Përmbledhja Cesàro është një metodë mesatare, në atë që mbështetet në mesataren aritmetike të vargut së shumave të pjesshme. Metoda të tjera përfshijnë vazhdime analitike të serive të lidhura. Në fizikë, ka një shumëllojshmëri të gjerë të metodave përmbledhëse; këto janë diskutuar më hollësisht në artikullin mbi rregullimin .

Historia

Para shekullit të 19-të, seritë divergjente përdoreshin gjerësisht nga Leonhard Euler dhe të tjerë, por shpesh çonin në rezultate konfuze dhe kontradiktore. Një problem i madh ishte ideja e Euler-it se çdo seri divergjente duhet të ketë një shumë natyrale, pa përcaktuar më parë se çfarë nënkuptohet me shumën e një serie divergjente. Augustin-Louis Cauchy përfundimisht dha një përkufizim rigoroz të shumës së një serie (konvergjente), dhe për ca kohë pas kësaj, seritë divergjente u përjashtuan kryesisht nga matematika. Ata u rishfaqën në 1886 me punën e Henri Poincaré në seritë asimptotike. Në 1890, Ernesto Cesàro kuptoi se mund të jepej një përkufizim rigoroz i shumës së disa serive divergjente dhe përcaktoi përmbledhjen e Cesàro . (Ky nuk ishte përdorimi i parë i përmbledhjes Cesàro, i cili u përdor në mënyrë implicite nga Ferdinand Georg Frobenius në 1880; kontributi kryesor i Cesàro nuk ishte zbulimi i kësaj metode, por ideja e tij që duhet dhënë një përkufizim i qartë i shumës së një serie divergjente. .) Në vitet pas letrës së Cezaros, disa matematikanë të tjerë dhanë përkufizime të tjera të shumës së një serie divergjente, megjithëse këto nuk janë gjithmonë të pajtueshme: përkufizime të ndryshme mund të japin përgjigje të ndryshme për shumën e së njëjtës seri divergjente; Pra, kur flasim për shumën e një serie divergjente, është e nevojshme të specifikoni se cilën metodë mbledhore është duke përdorur.

Shembuj

• 1 - 1 + 1 - 1 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}$
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-1$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ ${\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}$