Sfera e Blokut
Në mekanikën kuantike, sfera e Blokut është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik me dy nivele e emëruar sipas fizikantit Feliks Blok. Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore e 1 kubiti të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një sferë gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në mënyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me n-nivele.
Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në hapësirën e Hilbertit ose në Hapësire projektive të Hilbertit. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo hapësirë vektoriale është një hapësirë projektive, dhe në veçanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një vije komplekse projektive, e cila është isomorfike më një sferë. Çdo çift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në mënyre mutuale një çifti gjëndjesh ekskluzive të një thërrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për eksperimentin e Stern-Gerlach të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike.
Metrika natyrale e sferës se Blokut është metrika Fubini-Study.
Kubiti
RedaktoNë mënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e vektoreve ket dhe ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e të jenë reale dhe jo-negative. Pra ka një paraqitje si
me
Përveç rastit ku është një nga vektoret ket ose , kjo paraqitje është unike, pra. parametrat dhe specifikojnë në mënyre unike një pikë në sferën njësi në hapësirën Euklidiane , nga pikëpamja vizuale, pika koordinata e së cilës janë
Një përgjithësim për gjendjet e pastra
RedaktoKonsideroni një sistem mekaniko kuantik me n-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një hapësirë Hilbertiane n-përmasore Hn. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcaktimit bashkësia e rrezeve 1-dimensionale të Hn.
Teoreme. Le U(n) të jetë një grup Lie i matricave unitare me përmase n. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të Hn mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte
Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një veprim grupinatyral te U(n) në bashkësine e gjendjeve të Hn. Ky veprim është i vazhdueshëm dhe tranzitiv ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, grupi izotrop i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve g të U(n) e tillë që g ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit
Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo g e U(n) që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një ajgenvektor. Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(n - 1). Nga ky pohim i teoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi transitive të grupeve kompakte.
Fakti i rëndësishëm këtu është që grupet unitare veprojnë në mënyre transitive në gjendjet e pastra.
Tani dimensioni (real) i U(n) është n2. Kjo shikohet lehtë meqenëse relacioni eksponencial
është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(n). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension n2.
Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të Hn është 2n − 2.
Në fakt,
Rrjedhim. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një regjistri kuantik me m kubite është 2m+1 − 2.
Gjeometria e operatoreve të densitetit
RedaktoReferime
Redakto- Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement[lidhje e vdekur]", Journal of Physics Conference Series, 39 (2006) pp.9-16.
- Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). (A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)
- Singer, Stephanie Frank (2005). Linearity, Symmetry, and Prediction in the Hydrogen Atom. New York: Springer. ISBN 0-387-24637-1.
{{cite book}}
: Mungon ose është bosh parametri|language=
(Ndihmë!)