Shpërndarja Normale-Wishart

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikat , shpërndarja normale-Wishart (ose shpërndarja Gausiane-Wishart ) është një familje shumëndryshore me katër parametra të shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit . Është parësori i konjuguar i një shpërndarjeje normale shumëvariate me mesatare të panjohur dhe matricë saktësie (inversi i matricës së kovariancës ).

Wishart normal

Simboli	$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )$
Parametrat	${\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,$ parametri i vendndodhjes (vektor real) $\lambda >0\,$ (real) $\mathbf {W} \in \mathbb {R} ^{D\times D}$ matrica e shkallës (matricë e përcaktuar pozitivisht) $\nu >D-1\,$ (real)
Mbështetës	${\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Lambda }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}$ Matrica e kovariancës (pozitivisht e përcaktuar)
FDGJ	$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )$

Përkufizimi

Supozojmë se

${\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})$

ka një shpërndarje normale multivariate me mesatare ${\boldsymbol {\mu }}_{0}$ dhe matricës së kovariancës $(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}$, ku

${\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )$

ka një shpërndarje Wishart . Pastaj $({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})$ ka një shpërndarje normale-Wishart, e cila shënohet si

$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu ).$

Karakterizimi

Funksioni i densitetit të probabilitetit

$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )$

Vetitë

Shpërndarjet margjinale

Nga ndërtimi, shpërndarja margjinale mbi ${\boldsymbol {\Lambda }}$ është një shpërndarje Wishart, dhe shpërndarja e kushtëzuar mbi ${\boldsymbol {\mu }}$ dhënë ${\boldsymbol {\Lambda }}$ është një shpërndarje normale me shumëvariate . Shpërndarja margjinale mbi ${\boldsymbol {\mu }}$ është një shpërndarje Studenti shumëvariate .

Shpërndarja e pasme e parametrave

Pas bërjes së $n$ vëzhgimeve ${\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}$, shpërndarja e pasme e parametrave është

$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _{n},\mathbf {W} _{n},\nu _{n}),$

ku përkatësisht

$\lambda _{n}=\lambda +n,$

${\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\bar {x}}}}{\lambda +n}},$

$\nu _{n}=\nu +n,$

$\mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac {n\lambda }{n+\lambda }}({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}.$

Gjenerimi i variacioneve të rastësishme normale-Wishart

Gjenerimi i variateve të rastit është i menjëhershëm:

1. Kampiono ${\boldsymbol {\Lambda }}$ nga një shpërndarje Wishart me parametra $\mathbf {W}$ dhe $\nu$
2. Kampiono ${\boldsymbol {\mu }}$ nga një shpërndarje normale shumëvariate me mesatare ${\boldsymbol {\mu }}_{0}$ dhe variancë $(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Shpërndarja normale-e anasjelltë Wishart është në thelb e njëjta shpërndarje e parametrizuar nga varianca dhe jo nga saktësia.
• Shpërndarja normale-gama është ekuivalenti njëdimensional.
• Shpërndarja normale me shumëvariate dhe shpërndarja Wishart janë shpërndarjet përbërëse nga të cilat është bërë kjo shpërndarje.