Në mekanikën kuantike , simbolet Wigner 3-jm , të quajtura edhe si simbolet 3-j ose 3j janë simbole alternative për koeficientët e Klebesh-Gordan , ato shërbejnë për të shtuar momentin këndor. Të dyja format shprehin problemin e njëjtë fizik, simbolet 3-j bëjnë këtë në mënyrë më simetrike, dhe kështu kanë simetri më të madhe dhe më të thjeshtë se sa koeficientët e Klebesh-Gordan. Formula e cila i lidh me koeficientet e Klebesh-Gordan është:
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
≡
(
−
1
)
j
1
−
j
2
−
m
3
2
j
3
+
1
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
j
3
−
m
3
⟩
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .}
Relacioni invers mund te gjendet duke vene re se j 1 - j 2 - m 3 është një numër i plote dhe duke bere zëvendësimin
m
3
→
−
m
3
{\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}
⟨
j
1
m
1
j
2
m
2
|
j
3
m
3
⟩
=
(
−
1
)
j
1
−
j
2
+
m
3
2
j
3
+
1
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
−
m
3
)
.
{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}
Relacionet inverse të simbolit 3j janë me te përshtatshme se ato të koeficienteve Klebsh-Gordan . Një simbol 3j është invariant nen një permutacion çift te njeries nga kolonave te tija :
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
=
(
j
2
j
3
j
1
m
2
m
3
m
1
)
=
(
j
3
j
1
j
2
m
3
m
1
m
2
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}
Një permutacion tek i kolonës jep një faktor faze :
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
(
j
2
j
1
j
3
m
2
m
1
m
3
)
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
(
j
1
j
3
j
2
m
1
m
3
m
2
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}
Ndryshimi i njërës nga shenjave te numrit kuantik
m
{\displaystyle m}
(
j
1
j
2
j
3
−
m
1
−
m
2
−
m
3
)
=
(
−
1
)
j
1
+
j
2
+
j
3
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}
Kontraktimi i prodhimit te tre gjendjeve rrotulluese me një simbol 3j ,
∑
m
1
=
−
j
1
j
1
∑
m
2
=
−
j
2
j
2
∑
m
3
=
−
j
3
j
3
|
j
1
m
1
⟩
|
j
2
m
2
⟩
|
j
3
m
3
⟩
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
,
{\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}
(
2
j
+
1
)
∑
m
1
m
2
(
j
1
j
2
j
m
1
m
2
m
)
(
j
1
j
2
j
′
m
1
m
2
m
′
)
=
δ
j
j
′
δ
m
m
′
.
{\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'}.}
∑
j
m
(
2
j
+
1
)
(
j
1
j
2
j
m
1
m
2
m
)
(
j
1
j
2
j
m
1
′
m
2
′
m
)
=
δ
m
1
m
1
′
δ
m
2
m
2
′
.
{\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.}
Lidhja me integralet e harmonikave sferike te spinit
Redakto
∫
d
n
^
s
1
Y
j
1
m
1
(
n
^
)
s
2
Y
j
2
m
2
(
n
^
)
s
3
Y
j
3
m
3
(
n
^
)
=
(
−
1
)
m
1
+
s
1
(
2
j
1
+
1
)
(
2
j
2
+
1
)
(
2
j
3
+
1
)
4
π
(
j
1
j
2
j
3
m
1
m
2
m
3
)
(
j
1
j
2
j
3
−
s
1
−
s
2
−
s
3
)
{\displaystyle \int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}}
Kjo duhet te kontrollohet për konvencionet e ndryshme te harmonikave.
L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics , volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum , 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics , 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Stampa:Dlmf D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum , World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups , unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum , Academic Press, New York (1965).
