matematikë, në degën e analizës vektoriale, Teorema e Helmholcit, e njohur gjithashtu si teorema themelore e analizës vektoriale, pohon se një fushe vektoriale e lëmuar mjaftueshëm, qe zvogëlohet eksponencialisht mund te ndahet ne komponente të fushës vektoriale irrotacionale dhe solenoidale (pa divergjence).

Kjo implikon që çdo fushe vektoriale mund të konsiderohet si e përberë nga një çift potencialesh : një potencial skalar dhe një potenciali vektorial .

Dekompozimi rezultues i Helmholcit i një fushe vektoriale, e cila është dy herë e diferencueshme dhe kaq e shpejte sa të veje në zero në infinit, e ndan fushën vektoriale në një shumë të një gradienti dhe të rrotacioni si më poshtë :

ku tregon operatorin e potencialit Njutonian.

Nëqoftese , në themi së është një fushe solenoidale pa divergjence dhe dekompozimi i Helmholcit i bie në

Në këtë rast, njihet si potenciali vektorial për .

Njësoj, nëqoftese atëherë thuhet se është pa rrotacion ose irrotacionale kështu që dekompozimi i Helmholcit i shndërrohet në

Në këtë rast, njihet si potenciali skalar për .

Në përgjithësi gradienti negativ i potencialit skalar barazohet me komponentin irrotacional, dhe rrotacioni i potencialit vektorial barazohet me komponentin solenoidal :

.

Aplikimi tek format diferenciale

Redakto

Dekompozimi i Hodge përgjithësohet në dekompozimin e Helmholcit nga fushat vektoriale në format diferenciale.

Formulimi i dobët

Redakto

Fushat gjatësore dhe transverse

Redakto

Referime

Redakto

Referime te përgjithshme

Redakto
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92-93
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95-101

Referime për formulimin e dobët

Redakto
  • C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
  • R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
  • V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Lidhje te jashtme

Redakto