Dekompozimi i Helmholcit

Në matematikë, në degën e analizës vektoriale, Teorema e Helmholcit, e njohur gjithashtu si teorema themelore e analizës vektoriale, pohon se një fushe vektoriale e lëmuar mjaftueshëm, qe zvogëlohet eksponencialisht mund te ndahet ne komponente të fushës vektoriale irrotacionale dhe solenoidale (pa divergjence).

Kjo implikon që çdo fushe vektoriale $\mathbf {F}$ mund të konsiderohet si e përberë nga një çift potencialesh : një potencial skalar $\phi$ dhe një potenciali vektorial $\mathbf {A}$.

Dekompozimi rezultues i Helmholcit i një fushe vektoriale, e cila është dy herë e diferencueshme dhe kaq e shpejte sa të veje në zero në infinit, e ndan fushën vektoriale në një shumë të një gradienti dhe të rrotacioni si më poshtë :

$\mathbf {F} =-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot \mathbf {F} )+\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times \mathbf {F} )$

ku ${\mathcal {G}}$ tregon operatorin e potencialit Njutonian.

Nëqoftese $\nabla \cdot \mathbf {F} =0$, në themi së $\mathbf {F}$ është një fushe solenoidale pa divergjence dhe dekompozimi i Helmholcit i $\mathbf {F}$ bie në

$\mathbf {F} =\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {A}$

Në këtë rast, $\mathbf {A}$ njihet si potenciali vektorial për $\mathbf {F}$.

Njësoj, nëqoftese $\nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0}$ atëherë $\mathbf {F}$ thuhet se është pa rrotacion ose irrotacionale kështu që dekompozimi i Helmholcit i $\mathbf {F}$ shndërrohet në

$\mathbf {F} =-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot \mathbf {F} )=-\nabla \phi .$

Në këtë rast, $\phi$ njihet si potenciali skalar për $\mathbf {F}$.

Në përgjithësi gradienti negativ i potencialit skalar barazohet me komponentin irrotacional, dhe rrotacioni i potencialit vektorial barazohet me komponentin solenoidal :

$\mathbf {F} =-\nabla \phi +\nabla \times \mathbf {A}$.

Aplikimi tek format diferenciale

Dekompozimi i Hodge përgjithësohet në dekompozimin e Helmholcit nga fushat vektoriale në format diferenciale.

Referime

Referime te përgjithshme

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92-93
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95-101

Referime për formulimin e dobët

• C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
• R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Lidhje te jashtme

• Helmholtz theorem on MathWorld