Divergjenca

Në llogaritjen vektoriale, divergjenca është një operator vektorial që vepron mbi një fushë vektoriale, duke prodhuar një fushë skalare që jep madhësinë e burimit të fushës vektoriale në secilën pikë. Më teknikisht, divergjenca përfaqëson dëndësinë e vëllimit të fluksit të jashtëm të një fushe vektoriale nga një vëllim pambarimisht i vogël rreth një pike të caktuar.

Divergjenca e fushave të ndryshme vektoriale. Divergjenca e vektorëve nga pika $(x,y)$ është e barabartë me shumën e derivatit të pjesshëm - në lidhje me - $x$ të komponentit $x$ dhe derivatit të pjesshëm - në lidhje me - $y$ - të komponentit $y$ në atë kohë pika: $\nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \,{V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \,{V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}$

Si shembull, merrni parasysh ajrin ndërsa nxehet ose ftohet. Shpejtësia e ajrit në çdo pikë përcakton një fushë vektoriale. Ndërsa ajri nxehet në një rajon, ai zgjerohet në të gjitha drejtimet, dhe kështu fusha e shpejtësisë tregon jashtë nga ai rajon. Kështu, divergjenca e fushës së shpejtësisë në atë rajon do të kishte një vlerë pozitive. Ndërsa ajri ftohet dhe kështu tkurret, divergjenca e shpejtësisë ka një vlerë negative.

E ç'është divergjenca?

Divergjenca në një pikë $x$ është limiti i raportit të fluksit $\Phi$ përmes sipërfaqes $S_{i}$ (shigjeta të kuqe) tek vëllimi $|V_{i}|$ për çdo varg të rajoneve të mbyllura $V_{1},V_{2},V_{3}...$ që mbyllin $x$ i cili i afrohet vëllimit zero:
$\operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}$

Divergjenca e një fushe vektoriale ${\boldsymbol {F(x)}}$ në një pikë $x_{0}$ përcaktohet si kufiri i raportit të integralit të sipërfaqes së ${\boldsymbol {F}}$ jashtë sipërfaqes së mbyllur të një vëllimi $V$ që mbyll $x_{0}$ me vëllimin e $V$, ndërsa $V$ tkurret në zero

$\operatorname {div{\boldsymbol {F|_{x_{0}}}}} =\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}\oiint _{S(V)}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {\widehat {n}}}{\text{ d}}{S}$

ku $|V|$ është vëllimi i $V$, $S(V)$ është kufiri i $V$, and $\mathbf {\hat {n}}$ është normalja njësi e asaj sipërfaqe. IMund të tregohet se limiti i mësipërm konvergjon gjithmonë drejt së njëjtës vlerë për çdo sekuencë vëllimesh që përmbajnë $x_{0}$ dhe i afrohen zeros. Rezultati, $\operatorname {div} F$, është një funksion skalar i $x$.

Përkufizimi në koordinata

Koordinatat karteziane

Në koordinatat karteziane tredimensionale, divergjenca e një fushe vektoriale vazhdimisht të diferencueshme $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ përkufizohet si funksioni me vlera skalare :

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Koordinatat cilindrike

Për një vektor të shprehur në koordinata cilindrike njësi si

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},$

ku ${\textbf {e}}_{a}$ është vektori njësi në drejtimin a, divergjenca është

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

Përdorimi i koordinatave vendore është jetik për vlefshmërinë e shprehjes. Nëse marrim parasysh ${\vec {x}}$ si vektorin e vendndodhjes dhe funksionet $r({\vec {x}})$, $\theta {({\vec {x}})}$ dhe $z({\vec {x}})$, të cilët i caktojnë një vektori koordinatën cilindrike globale përkatëse, në përgjithësi. $r(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{r}(\mathbf {x} )$, $\theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{\theta }(\mathbf {x} )$, dhe $z(\mathbf {F} (\mathbf {x} ))\neq F_{z}(\mathbf {x} )$ . Në veçanti, nëse marrim parasysh funksionin e identitetit ${\boldsymbol {F}}({\vec {x}})={\vec {x}}$, gjejmë se:

$\theta (\mathbf {F} (\mathbf {x} ))=\theta \neq F_{\theta }(\mathbf {x} )=0$ .

Koordinatat sferike

Në koordinatat sferike, me $\theta$ këndin me boshtin $z$ dhe $\varphi$ rrotullimin rreth boshtit $z$, dhe $F$ përsëri të shkruar në koordinatat e njësive vendore, divergjenca është:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}F_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta \,F_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}.$

Vetitë

Vetitë e mëposhtme mund të nxirren të gjitha nga rregullat e zakonshme të diferencimit të llogaritjes . Më e rëndësishmja, divergjenca është një operator linear, dmth.

$\operatorname {div} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {div} \mathbf {F} +b\operatorname {div} \mathbf {G}$

për të gjitha fushat vektoriale ${\boldsymbol {F}}$ dhe ${\boldsymbol {G}}$ dhe të gjithë numrat realë $a$ dhe $b$ .

Ekziston një rregull produkti i llojit të mëposhtëm: nëse $\varphi$ është një funksion me vlera skalare dhe $F$ është një fushë vektoriale, atëherë

$\operatorname {div} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \cdot \mathbf {F} +\varphi \operatorname {div} \mathbf {F} ,$

ose në shënime më sugjestive

$\nabla \cdot (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\cdot \mathbf {F} +\varphi (\nabla \cdot \mathbf {F} ).$

Një rregull tjetër produkti për produktin kryq të dy fushave vektoriale ${\boldsymbol {F}}$ dhe ${\boldsymbol {G}}$ në tre dimensione përfshin kaçurrelin dhe lexon si më poshtë:

$\operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=\operatorname {curl} \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {curl} \mathbf {G} ,$

ose

$\nabla \cdot (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot (\nabla \times \mathbf {G} ).$

Laplasiani i një fushe skalare është divergjenca e gradientit të fushës:

$\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=\Delta \varphi .$

Divergjenca e kaçurrelit të çdo fushe vektoriale (në tre dimensione) është e barabartë me zero:

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.$