Transformimi i Furierit në kohë diskrete

analizën e Furierit, Transformimi i Furierit në kohë diskrete (TFKD) (angl: discrete-time Fourier transform (DTFT)) është një nga format e veçanta të analizës së Furierit. Si i tillë, ai transformon një funksion në një funksion tjetër, i cili jep paraqitjen e sinjalit (funksionit) në fushën e frekuencave, ose thjesht "TFKD", të funksionit origjinal (i cili zakonisht është një funksion në fushën kohore). Duhet thënë se TFKD kërkon si input (funksion eksitues) një funksion që është diskret. Sinjale te tilla merren duke marre kampione nga një funksion i vazhdueshëm në kohë, si p.sh. zëri i një personi.

Paraqitja e TFKD-së në fushën e frekuencave është gjithmonë një funksion periodik. Meqenëse një periodë e funksionit përmban të gjithë informacionin unik të funksionit, zakonisht thuhet se TFKD-ja është transformimi tek një fushe frekuencash e cila është e fundme (me gjatësinë e një periode), në krahasim me të gjithë vijën reale.

PërcaktimiRedakto

Po te kemi nje bashkesi diskrete te numrave reale ose komplekese :   (numra të plotë), transformimi i Furierit në kohë diskrete (ose TFKD) i   zakonisht shkruhet si:

 

Lidhja me marrjen e kampioneve të funksionit (samplimin)Redakto

PeriodicitetiRedakto

Transformimi inversRedakto

Transformimi i meposhtem jep nje sekeuence diskrete ne kohe:

   
 

Integrali eshte mbi nje periode te plote te TFKD, e cila do te thote se kampionet nga x[n] jane ne te njejten kohe koeficentet e zgjerimit të serisë së Furierit te TFKD.   Limitet infinite te integrimit ndryshojne transformimin ne tarnsformimin e Furierit me vazhdimësi kohore, [inversi], i se ciles prodhon nje sekuence impulsesh Diraku. Pra:

 

Sekuenca me gjatësi te fundmeRedakto

Diferenca midis TFKD dhe transformimeve të tjera të FurieritRedakto

TFKD eshte e kuderta e serive te Furierit, per vete faktin se kjo e fundit ka nje input periodik te vazhdueshem dhe nje spekter diskret. Aplikimet e dy transformimeve jane shume te ndryshme megjithate. TDF dhe TFKD mund te shikohen si rezultatet logjike te aplikimit te transformimit standart te Furierit tek bashkesite me informacione diskrete.

Lidhja me transformimin ZRedakto

Tabele e transformimeve te Furierit në kohë diskreteRedakto

Disa çifte transformimesh te zakonshme jepen me poshte. Notacioni i meposhtem aplikohet :

  •   eshte nje numer i plote qe paraqet fushen kohore diskrete (kampionet e sinjalit)
  •   eshte nje numer real ne  , qe paraqet frekuencen e vazhdueshme kohore (ne radian per kampion).
    • Pjesa e transformimit qe ngelet   jepet nga :  
  •   eshte Funksioni shkallë njësi
  •   eshte Funksioni sink i normalizuar
  •   është Funksioni delta i Dirakut
  •   eshte Delta e Kronëkerit  
  •   është Funksioni drejtkëndësh për një vlerë reale arbitrare t:
 
  •   eshte funksioni trekëndësh per një vlere reale arbitrare t:
 
Fusha kohore
 
Fusha e frekuencave
 
Shënime
   
    numer i plote M
    numer i plote M
   
    numer real a
    numer real a
    numer real a
    numer i plote M
    numer real a
    numer real W
 
    numer real W, a
 
    punon si nje filtër diferencues
    numra reale W, a
 
   
    Transformimi i Hilbertit
    Numra realë A, B
complex C

VetitëRedakto

Kjo tabelë tregon marrëdheniet midis transformimeve të përgjithshme të Furierit në kohë diskrete. Në këtë artikull po përdorim notacionin e mëposhtëm:

  •   është konvulimi midis dy sinjaleve
  •   është numri kompleks i konjuguar i funksionit x[n]
  •   paraqet korrelacionin midis x[n] dhe y[n].


Kolona e pare paraqet nje përshkrim të vetisë, kolona e dytë tregon funksionin në fushën kohore, dhe kolona e tretë tregon spektrin në fushën e frekuencave:

Vetitë Fusha kohore   Fusha e frekuencave   Shënime
Lineariteti    
Zhvendosja në kohë     numer i plote k
Zhvendosja në frekuencë (modulimi)     numer real a
Pasqyrimi kohor    
Konjugimi kohor    
Pasqyrimi kohor & konjugimi    
Derivati në frekuencë    
Integrali në frekuencë    
Konvulimi në kohë    
Shumëzimi në kohë    
Korrelacioni    

Vetitë simetrikeRedakto

Transformimi i Furierit mund të dekompozohet në pjesën reale dhe imagjinare ose në pjesë çift dhe tek.
 
ose
 

Fusha kohore
 
Fusha e frekuencave
 
   
   

Shih edheRedakto

ReferimeRedakto

  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer (1999). Discrete-Time Signal Processing (bot. 2nd Edition)). Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2.Mirëmbajtje CS1: tekst shtesë (link)
  • William McC. Siebert (1986). Circuits, Signals, and Systems. MIT Electrical Engineering and Computer Science Series. Cambridge, MA: MIT Press.
  • Boaz Porat. A Course in Digital Signal Processing. John Wiley and Sons. ff. pp. 27-29 and 104-105. ISBN 0-471-14961-6.Mirëmbajtje CS1: tekst shtesë (link)