Trupat e Platonit

Trupat e Platonit në hapsirën tre dimenzionale, janë poliedëra të rregullt dhe konveks. Ata janë konstruktuar nga shumëkëndësha me faqe të rregullta dhe kongurente, numri i të cilëve është i njejtë në secilin kulm. ^[1]

Historia

Trupat e Platonit janë të njohura qysh në kohën antike. Ato për herë të parë janë përmendur nga filozofi Platoni, nga edhe e kanë marr emrin. Plato ( Platoni) shkroi për ta në dialogun “Timaeus” në vitin 360 para erës tonë, në të cilën ai i ka lidhur katër elementet klasike (toka, ajri, uji dhe zjarri ) me ndonjë trup të rregullt ^[2]. Toka ishte e lidhur me kubin, ajri me oktaedrin, uji me ikosaedrin dhe zjarri me tetraedrin. Në lidhje me trupin e pestë, dodekaedrin Platoni shënon “... Zoti e ka përdorur (atë) për të rregulluar yjet në gjithësi”. Aristoteli duke u bazuar në këtë emërim të Platonit ka shtuar edhe një element të ri, “aithēr“ ( në Latinisht aether, kurse “ether” në Anglisht) duke e marrë si të mirëqenë që gjithësia është e përbërë nga ky element, mirëpo ai asnjëherë nuk e bëri ndërlidhjen e tij me elementin e pestë të trupave të Platonit. ^[3]

Euklidi bëri përshkrimin matematik të këtyre trupave në përmbledhjen e librave me titullin “The Elements” , në librin e XIII , në të cilin ai përshkruan vetitë e këtyre trupave. Në këtë libër problemet 13-17 përshkruanin ndërtimin e tetraedrit, oktaedrit, kubit, ikosaedrit dhe dodekaedrit me radhë. Në problemin 18 ai argumenton se nuk ekziston ndonjë poliedër tjetër konveks. ^[4]

Në shekullin e 16, astronomi i njohur Gjerman Johannes Kepler u përpoq të bëjë një ndërlidhje në mes të këtyre trupave dhe pesë planeteve të njohura deri në atë kohe. Në veprën e tij Mysterium Cosmographicum të publikuar me 1596, Kepleri propozoi një model të sistemit solar, ku pesë trupat ishin të vendosur brenda njëri tjetrit dhe ishin të ndara nga një seri e sferave të kufizuara.

Karakteristikat e trupave të Platonit

Sikurse tek n-këndshat e rregullt, trupat e Platonit kanë një karakteristikë të dobishme, ata janë simetrike në lidhje me kulmet, brinjët dhe faqet.

Disa karakteristika bazike të trupave të Platonit janë:

Karakteristikat e trupave të Platonit
Trupat e Platonit	Faqet	Kulmet	Brinjët	Forma e faqës
Tetraedri	4	4	6	Trekëndësh
Kubi	6	8	12	Katror
Oktaedri	8	6	12	Trekëndësh
Dodekaedri	12	20	30	Peskëndësh
Ikosaedri	20	12	30	Trekëndësh

Nëse trupat e lartë cekur kanë qendrën në origjinën e sistemit koordinativ kartezian në, atëherë më poshtë do të japim koordinatat e kulmeve të tyre, ku me $\varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ shënojmë raportin e artë.

Koordinatat e kulmeve të trupave të Platonit
Trupat e platonit	Koordinatat e kulmeve
Tetraedri	( 1, 1, 1) , ( -1, -1, 1) , ( 1, -1, -1) ,( -1, 1, -1)
Kubi	( ±1, ±1, ±1)
Oktaedri	( ±1, 0, 0), ( 0, ±1, 0) , ( 0, 0, ±1)
Dodekaedri	$(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ $(0,\pm \varphi ,\pm {\frac {1}{\varphi }})$ $(\pm \varphi ,0,\pm {\frac {1}{\varphi }})$ $(\pm {\frac {1}{\varphi }},\pm \varphi ,0)$
Ikosaedri	( 0, ±1 , ±φ), ( ±1, ±φ, 0), ( ±φ, 0, ±1)

Një poliedër konveks është trup platonik atëherë dhe vetëm atëherë kur:

Të gjitha faqet e tij janë shumëkëndsha të rregullt konveks dhe kongruent.
Faqet e tij nuk priten askund tjetër përveç në brinjët e tyre, dhe
Numër i njëjtë i faqeve takohet në secilin kulm të tij.

Prandaj çdo trup i Platonit mund të shprehet me simbolin { p, q} ku

p është numri i brinjëve (ose ekuivalente, kulmeve) të çdo faqeje, dhe

q është numri i faqeve (ose ekuivalente, brinjëve) që takohen në çdo kulm.

Simboli {p,q} quhet simboli “Schläfli” , dhe na jep një përshkrim kombinatorik të polihedrit. Duke u bazuar në tabelën 1-2 dhe atë që u tha më lartë, simboli Schläfli për secilin trup merret kështu: tetraedri {3,3}, kubi {4,3}, oktaedri {3,4}, dodekaedri {5,3}, ikosaedri {3,5} .

Informacionet tjera në lidhje me trupat e Platonit të tilla si numri i kulmeve (V), numri i brinjëve (E), dhe numri i faqeve (F), mund të përfitohet nga p dhe q. Pasi çdo brinjë i bashkon dy kulme dhe i takon dy faqeve kemi:

$pF=2E=qV$

Relacion tjetër në mes këtyre vlerave është dhënë nga formula e Eulerit:

Kjo mund të vërtetohet në disa mënyra. Këto tri relacionet e mëposhtme na japin vlerën e V, E dhe F :

$V-E+F=2$

Kjo mund të vërtetohet në disa mënyra. Këto tri relacionet e mëposhtme na japin vlerën e V, E dhe F :

$V={\frac {4p}{4-(p-2)(q-2)}},E={\frac {2pq}{4-(p-2)(q-2)}},F={\frac {4q}{4-(p-2)(q-2)}}$

Nëse p dhe q ndryshojnë vendet atëherë vlerat e V dhe F ndryshojnë kurse E mbetet e pandryshuar. ^[5]

Vërtetimi mbi ekzistencën e vetëm pesë trupave të Platonit

Në vazhdim do të tregojmë se nuk ekzistojnë më shumë se pesë trupa të Platonit, këtë vërtetim do ta bëjmë me anë të dy metodave.

Vërtetimi gjeometrik

Argumentimi i mëposhtëm gjeometrik është i ngjajshëm me atë të dhënë nga Euklidi në “Elements”.

Çdo kulm i trupit duhet të jetë kulm për të paktën tri faqe.
Për secilin kulm të trupit, shuma totale e këndeve të faqeve që bashkohen në atë kulm, duhet të jetë 360 ̊ . Nëse kjo shumë është më e vogël se 360 ̊, quhet defekt këndor.
Këndet tek të gjitha kulmet e të gjitha faqeve të trupit platonik janë identike, çdo kulm i çdo faqeje duhet të jetë më i vogël se
Shumëkëndshi i rregullt me 6 ose më shumë brinjë ka kënd më të madhë ose baraz me 120 ̊, prandaj faqet kongruente mund të jenë trekëndsha, katror ose peskëndesha. Për këto forma të ndryshme të faqeve vlejnë:
- Faqe trekëndore: Çdo kulm i trekëndshit të rregullt ka kënd 60 ̊ , prandaj trupi mund të ketë 3,4 ose 5 trekendsha që takohen me një kulm, këta janë tetraedri, oktaedri dhe ikosaedri përkatsisht.
- Faqe katrore: Çdo kulm i katrorit ka kënd prej 90 ̊, prandaj ekziston vetëm një trup që ka 3 faqe të bashkuara me një kulm dhe ai është kubi.
- Faqe pesëkëndore: Çdo kulm i pesëkëndshit është 108 ̊, prandaj ekziston vetëm një trup me 3 faqe që bashkohen me një kulm, ai është dodekaedri.

Nga vetitë që u thanë më lartë, rrjedhë që ekzistojnë vetëm pesë trupa platonik.

Vërtetimi topologjik

Do të përdorim formulën e njohur të Eulerit:

$V-E+F=2$ ..........................................................(*)

si dhe formulën e dhënë më herët:

$pF=2E=qV$ ............................................................(**)

ku p paraqet numrin e brinjëve të secilës faqe, kurse q paraqet numrin e brinjëve që takohen në një kulm.

Nga (*) dhe (**) kemi se :

${\frac {2E}{q}}-E+{\frac {2E}{p}}=2$

i cili pas një hapi të thjeshtë kthehet në :

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{E}}$

tani duke pasur parasyshë se $E\geq 0$ , kemi se ${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}$ .

Nga shihet se p dhe q kanë vlerë më të madhe ose baraz me 3, si dhe vlejnë vetëm këto kombinime të mëposhtme:

{3,3} ,{4,3} , {3,4}, {5,3} ,{3,5} .

Dualiteti

Çdo poliedër e ka poliedrin dual (ose ‘polar’) ku ndërrohet roli i faqeve dhe kulmeve. Duali i çdo trupi platonik është po ashtu trup platonik, prandaj mund t’i shprehim pesë trupat në çifte duale.

Tetraedri është dual i vetvetës (apo duali i tij është një tetraedër),
Kubi dhe oktaedri formojnë një çift dual,
Dodekaedri dhe ikosahedri formojnë një çift dual.

Nëse trupi i Platonit ka simbolin {p,q} atëherë duali i tij do ta ketë {q,p}. Në të vërtetë çdo veti kombinatorike e trupit të Platonit mund të interpretohet si një veti kombinatorike e dualit të tij.

Dualiteti i dodekaedrit dhe ikosaedrit
Dualiteti i kubit dhe oktaedrit

Duali i njërit trup mund të konstruktohet nëse në secilën qendër të faqeve të trupit fillestar marrim kulmet e dualit të tij dhe më pas duke i bashkuar këto kulme ashtu që brinja e cila i bashkon dy kulmet e faqeve fqinjë të trupit fillestar do jetë brinja e dualit të tij.

Referime

^ Gardner, Martin (1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Chicago: University of Chicago Press. fq. Chapter 1: The Five Platonic Solids. ISBN 0226282538. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Zeyl, Donald (2008). Plato's Timaeus. Stanford: The Stanford Encyclopedia of Philosophy. fq. All. ISBN 9780872204461. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Christian, Wildberg (1988). John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether. Berlin: Walter de Gruyter. fq. 11–12. ISBN 9783110104462. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Hermann, Weyl (1952). Symmetry. Princeton: Princeton University Press. fq. All. ISBN 0-691-02374-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ ., Euclid; Heath, Thomas L (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover Publications. fq. Books 10–13 (2nd unabr. ed.). ISBN 0-486-60090-4. {{cite book}}: |last= ka emër shifror (Ndihmë!); Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1] Gardner, Martin (1987). The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Chicago: University of Chicago Press. fq. Chapter 1: The Five Platonic Solids. ISBN 0226282538. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] Zeyl, Donald (2008). Plato's Timaeus. Stanford: The Stanford Encyclopedia of Philosophy. fq. All. ISBN 9780872204461. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Christian, Wildberg (1988). John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether. Berlin: Walter de Gruyter. fq. 11–12. ISBN 9783110104462. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[4] Hermann, Weyl (1952). Symmetry. Princeton: Princeton University Press. fq. All. ISBN 0-691-02374-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[5] ., Euclid; Heath, Thomas L (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements. New York: Dover Publications. fq. Books 10–13 (2nd unabr. ed.). ISBN 0-486-60090-4. {{cite book}}: |last= ka emër shifror (Ndihmë!); Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]