Në matematikë , zgjerimi Jakobi-Anger (ose identiteti Jakobi-Anger ) është një zgjerim i eksponencialeve të funksioneve trigonometrike në bazë të harmonikave të tyre.
Është i dobishëm në fizikë (për shembull, për të konvertuar midis valëve plane dhe valëve cilindrike ), dhe në përpunimin e sinjalit (për të përshkruar sinjalet FM ). Ky identitet është emëruar pas matematikanëve të shekullit të 19-të Karl Jakobi dhe Karl Theodor Anger .
Identiteti më i përgjithshëm jepet nga: [ 1] [ 2]
e
i
z
cos
θ
≡
∑
n
=
−
∞
∞
i
n
J
n
(
z
)
e
i
n
θ
,
{\displaystyle e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta },}
ku
J
n
(
z
)
{\displaystyle J_{n}(z)}
n
{\displaystyle n}
Bessel i llojit të parë dhe
i
{\displaystyle i}
njësia imagjinare ,
i
2
=
−
1.
{\textstyle i^{2}=-1.}
θ
{\textstyle \theta }
θ
−
π
2
{\textstyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}
cos
(
z
cos
θ
)
≡
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
J
2
n
(
z
)
cos
(
2
n
θ
)
,
sin
(
z
cos
θ
)
≡
−
2
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
J
2
n
−
1
(
z
)
cos
[
(
2
n
−
1
)
θ
]
,
cos
(
z
sin
θ
)
≡
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
(
z
)
cos
(
2
n
θ
)
,
sin
(
z
sin
θ
)
≡
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
−
1
(
z
)
sin
[
(
2
n
−
1
)
θ
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}
Duke përdorur relacionin
J
−
n
(
z
)
=
(
−
1
)
n
J
n
(
z
)
,
{\displaystyle J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z),}
n
{\displaystyle n}
[ 1] [ 2]
∑
ν
=
−
∞
∞
J
ν
(
x
)
=
1
,
∑
ν
=
−
∞
∞
J
2
ν
(
x
)
=
1
,
∑
ν
=
−
∞
∞
J
3
ν
(
x
)
=
1
3
[
1
+
2
cos
x
3
2
]
,
∑
ν
=
−
∞
∞
J
4
ν
(
x
)
=
cos
2
(
x
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{2\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu }(x)&={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right],\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{4\nu }(x)&=\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}
Ndryshimet e mëposhtme me vlerë reale shpesh janë gjithashtu të dobishme: [ 3]
∑
ν
=
−
∞
∞
J
ν
(
x
)
=
1
,
∑
ν
=
−
∞
∞
J
2
ν
(
x
)
=
1
,
∑
ν
=
−
∞
∞
J
3
ν
(
x
)
=
1
3
[
1
+
2
cos
x
3
2
]
,
∑
ν
=
−
∞
∞
J
4
ν
(
x
)
=
cos
2
(
x
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{2\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu }(x)&={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right],\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{4\nu }(x)&=\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}
^ a b Colton & Kress (1998) p. 32.
^ a b Cuyt et al. (2008) p. 344.
^ Abramowitz & Stegun (1965) p. 361, 9.1.42–45
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/479f84bed8d8c7faf30d65a780f65362e242bf92)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{2\nu }(x)&=1,\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{3\nu }(x)&={\frac {1}{3}}\left[1+2\cos {\frac {x{\sqrt {3}}}{2}}\right],\\\sum _{\nu =-\infty }^{\infty }J_{4\nu }(x)&=\cos ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f0a20b478b9a834d3d4f7e8b81d199c904a305)