Zhvendosja e një vlerësuesi

Shënim: Fjalët "anë" dhe "zhvendosje" janë sinonime në kontekstin e këtij artikulli.

Në statistikë, zhvendosja/anshmëria e një vlerësuesi (ose funksioni i anshmërisë ) është ndryshesa midis pritjes matematike të këtij vlerësuesi dhe vlerës së vërtetë të parametrit që vlerësohet. Një rregull vlerësues ose vendimi me anshmëri zero quhet i paanshëm/i pazhvendosur . Në statistika, "anshmëria" është një veti objektive e një vlerësuesi. Anshmëria është një koncept i dallueshëm nga konsistenca : vlerësuesit e qëndrueshëm konvergjojnë në probabilitet me vlerën e vërtetë të parametrit, por mund të jenë të njëanshëm ose të paanshëm.

Me të gjitha të tjerat në barazim, një vlerësues i paanshëm është i preferueshëm ndaj një vlerësuesi të anshëm, megjithëse në praktikë, vlerësuesit e anshëm (përgjithësisht me zhvendosje të vogël) përdoren shpesh. Kur përdoret një vlerësues i zhvendosur, llogariten kufijtë e zhvendosjes. Një vlerësues i zhvendosur mund të përdoret për arsye të ndryshme: sepse një vlerësues i pazhvendosur nuk ekziston pa supozime të mëtejshme për një popullsi; sepse një vlerësues është i vështirë për t'u llogaritur (si në vlerësimin e pazhvendosur të shmangies standarde ); sepse një vlerësues i zhvendosur mund të jetë i pazhvendosur në lidhje me matësit e ndryshëm të prirjes qëndrore ; sepse një vlerësues i anshëm jep një vlerë më të ulët të disa funksioneve të humbjes (veçanërisht të gabimit mesatar në katror ) krahasuar me vlerësuesit e pazhvendosur (veçanërisht në vlerësuesit e tkurrjes ); ose sepse në disa raste të qenit i pazhvendosur është një kusht shumë i fortë dhe të vetmit vlerësues të pazhvendosur nuk janë të dobishëm.

Anshmëria mund të matet edhe në lidhje me mesoren, në vend të mesatares (pritja matematike), në të cilin rast dallohet vetia mesore - e paanshme nga ajo e mesatares - paanshmëri. Paanshmëria mesatare nuk ruhet nën transformimet jolineare, ndërsa paanshmëria mesore po; për shembull, varianca e mostrës është një vlerësues i anshëm për variancën e popullsisë. Të gjitha këto janë ilustruar më poshtë.

E ç'është anshmëria?

Supozoni se kemi një model statistikor, me parametër një numër real θ, duke krijuar një shpërndarje probabiliteti për të dhënat e vëzhguara, $P_{\theta }(x)=P(x\mid \theta )$, dhe një statistikë ${\hat {\theta }}$ e cila shërben si një vlerësues i θ bazuar në çdo të dhënë të vëzhguar $x$ . Kjo do të thotë se ne supozojmë se të dhënat tona ndjekin një shpërndarje të panjohur $P(x\mid \theta )$ (ku θ është një konstante fikse, e panjohur që është pjesë e kësaj shpërndarje), dhe më pas ndërtojmë disa vlerësues ${\hat {\theta }}$ që të dhënat e vëzhguara i hartëzon me vlera që shpresojmë të jenë afër θ . Anshmëria (Bias) e ${\hat {\theta }}$ në lidhje me $\theta$ përkufizohet si:

$\operatorname {Bias} ({\hat {\theta }},\theta )=\operatorname {Bias} _{\theta }[\,{\hat {\theta }}\,]=\operatorname {E} _{x\mid \theta }[\,{\hat {\theta }}\,]-\theta =\operatorname {E} _{x\mid \theta }[\,{\hat {\theta }}-\theta \,],$

ku $\operatorname {E} _{x\mid \theta }$ tregon pritjen matematike mbi shpërndarjen $P(x\mid \theta )$ (dmth. mesatarja mbi të gjitha vëzhgimet e mundshme $x$ ). Ekuacioni i dytë vijon pasi θ është i matshëm në lidhje me shpërndarjen e kushtëzuar $P(x\mid \theta )$ .

Një vlerësues thuhet se është i paanshëm nëse anshmëria e tij është e barabartë me zero për të gjitha vlerat e parametrit θ, ose në mënyrë të njëvlerëshme, nëse vlera e pritur e vlerësuesit përputhet me atë të parametrit.