Dukuria e Gibbsit

Në matematikë, fenomeni Gibbs është sjellja lëkundëse e serisë Furier të një funksioni periodik pjesë-pjesë , vazhdimisht të diferencueshëm rreth një pike këputje . Tek seria e ${\textstyle N}$ -të e pjesshme e Furierit e funksionit (formuar duke mbledhur ${\textstyle N}$ sinusoidat përbërëse më të ulët të serisë Furier të funksionit) prodhon maja të mëdha rreth kërcimit të cilat tejkalojnë dhe nënkalojnë vlerat e funksionit. Ndërsa përdoren më shumë sinusoidë, ky gabim i përafrimit i afrohet një kufiri prej rreth 9% të kërcimit, megjithëse shuma e pafundme e serisë së Furierit përfundimisht konvergjon pothuajse kudo (konvergjenca pikësore në pikat e vazhdueshme) përveç pikave të ndërprerjes. ^[1]

Fenomeni Gibbs u vëzhgua nga fizikanët eksperimentalë dhe besohej se ishte për shkak të papërsosmërisë së aparateve matëse, ^[2] por në fakt është një rezultat matematikor. Është një nga shkaqet e artefakteve të ziles në përpunimin e sinjalit . Është emëruar pas Josiah Willard Gibbs .

Përshkrimi

Përafrimi funksional i valës katrore duke përdorur 5 harmonika

Përafrimi funksional i valës katrore duke përdorur 25 harmonika

Përafrimi funksional i valës katrore duke përdorur 125 harmonika

Dukuria e Gibbsit është një sjellje e serisë Furier të një funksioni me një pikë këputje dhe përshkruhet si më poshtë:

Ndërsa merren më shumë përbërës të serisë Fourier, seria Fourier tregon tejkalimin e parë në sjelljen oshiluese rreth pikës së kërcimit që i afrohet ~ 9% të kërcimit (të plotë) dhe kjo lëkundje nuk zhduket por i afrohet pikës në mënyrë që integrali i lëkundjes i afrohet zeros.

Shpjegimi

Joformalisht, dukuria e Gibbsit pasqyron vështirësinë e natyrshme në përafrimin e një funksioni të ndërprerë nga një seri e fundme valësh sinusoidale të vazhdueshme. Është e rëndësishme të vihet theksi në fjalën e fundme, sepse edhe pse çdo shumë e pjesshme e serisë Furje tejkalon çdo ndërprerje, ajo është e përafërt, limiti i shumës së një numri të pafundëm valësh sinusoidale nuk e bën këtë. Majat e tejkalimit i afrohen gjithnjë e më shumë ndërprerjes ndërsa përmblidhen më shumë terma, kështu që konvergjenca është e mundur.

Nuk ka kontradiktë (midis gabimit të tejkalimit që konvergjon në një lartësi jozero edhe pse shuma e pafundme nuk ka tejkalim), sepse majat e tejkalimit lëvizin drejt ndërprerjes. Dukuria e Gibbsit kështu shfaq konvergjencë pikësore, por jo konvergjencë uniforme. Për një funksion pjesërisht të diferencueshëm vazhdimisht (klasa <i id="mwkA">C</i> <sup id="mwkQ">1</sup> ), seria Furje konvergjon me funksionin në çdo pikë, përveçse në ndërprerjet e kërcimit. Në pikën e këputjes kërcyese, shuma e pafundme do të konvergjojë në pikën e mesit të ndërprerjes së kërcimit (dmth. mesatarja e vlerave të funksionit në të dyja anët e kërcimit), si pasojë e teoremës së Dirihlesë . ^[3]

Zgjidhjet

Meqenëse fenomeni Gibbs vjen nga nënshkrimi, ai mund të eliminohet duke përdorur bërthama që nuk janë kurrë negative, si për shembull bërthama e Fejérit . ^[4] ^[5]

Shpjegimi i përpunimit të sinjalit

Funksioni sinc, përgjigja e impulsit të një filtri ideal të kalimit të ulët . Shkallëzimi ngushton funksionin dhe në përputhje me rrethanat rrit madhësinë (e cila nuk tregohet këtu), por nuk zvogëlon madhësinë e nënshartesës, që është integrali i bishtit.

Nga pikëpamja e përpunimit të sinjalit, dukuria e Gibbsit është përgjigja hap e një filtri me kalim të ulët, dhe lëkundjet quhen artifakte zilëzimi/kumbimi ose zileje. Shkurtimi i transformimit Furier të një sinjali në boshtin e numrave realë, ose i serisë Furier të një sinjali periodik (në mënyrë të njëvlershme, një sinjal në rreth), përkon me filtrimin e frekuencave më të larta me një filtër ideal ( mur-tulla ) me kalim të ulët. Kjo mund të përfaqësohet si konvolucioni i sinjalit origjinal me përgjigjen e impulsit të filtrit (i njohur gjithashtu si kernel ), i cili është funksioni sinc . Kështu, fenomeni i Gibbits mund të shihet si rezultat i ndërlidhjes së një funksioni hapi Heaviside (nëse nuk kërkohet periodicitet) ose një valë katrore (nëse periodike) me një funksion sinc: lëkundjet në funksionin sinc shkaktojnë valëzime në dalje.

Integrali sinus, që shfaq fenomenin e Gibbsit për një funksion hap në vijën reale

Pasojat

Dukuria e Gibbsit është i padëshirueshme sepse shkakton artifakte, përkatësisht prerje nga tejkalimi dhe nënkalimi, dhe artifakte kumbimi nga lëkundjet. Në rastin e filtrimit low-pass, këto mund të zvogëlohen ose eliminohen duke përdorur filtra të ndryshëm low-pass.

Në MRI, dukuria e Gibbsit shkakton artifakte në prani të rajoneve ngjitur me intensitet sinjalesh dukshëm të ndryshëm. Kjo më së shpeshti haset në MRI të shtyllës kurrizore ku dukuria e Gibbsit mund të simulojë shfaqjen e siringomielisë.

Dukuria e Gibbsit manifestohet si një artifakt i modelit kryq në transformimin diskrete të Furierit të një imazhi, ^[6] ku shumica e imazheve (p.sh. mikrografë ose fotografi) kanë një ndërprerje të mprehtë midis kufijve në krye/poshtë dhe majtas/djathtas të një imazhi. Kur kushtet kufitare periodike vendosen në transformimin Furier, kjo ndërprerje kërcimi përfaqësohet nga vazhdimësia e frekuencave përgjatë akseve në hapësirën reciproke (dmth. një model kryq intensiteti në transformimin Furier).

^ H. S. Carslaw (1930). "Chapter IX". Introduction to the theory of Fourier's series and integrals (bot. Third). New York: Dover Publications Inc. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Vretblad 2000 Section 4.7.
^ M. Pinsky (2002). Introduction to Fourier Analysis and Wavelets. United states of America: Brooks/Cole. fq. 27. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Gottlieb, David; Shu, Chi-Wang (janar 1997). "On the Gibbs Phenomenon and Its Resolution". SIAM Review (në anglisht). 39 (4): 644–668. doi:10.1137/S0036144596301390. ISSN 0036-1445.
^ Gottlieb, Sigal; Jung, Jae-Hun; Kim, Saeja (mars 2011). "A Review of David Gottlieb's Work on the Resolution of the Gibbs Phenomenon". Communications in Computational Physics (në anglisht). 9 (3): 497–519. doi:10.4208/cicp.301109.170510s. ISSN 1815-2406.
^ R. Hovden, Y. Jiang, H.L. Xin, L.F. Kourkoutis (2015). "Periodic Artifact Reduction in Fourier Transforms of Full Field Atomic Resolution Images". Microscopy and Microanalysis. 21 (2): 436–441. arXiv:2210.09024. doi:10.1017/S1431927614014639. PMID 25597865. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)

[Carslaw-1] H. S. Carslaw (1930). "Chapter IX". Introduction to the theory of Fourier's series and integrals (bot. Third). New York: Dover Publications Inc. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] Vretblad 2000 Section 4.7.

[Pinksky-3] M. Pinsky (2002). Introduction to Fourier Analysis and Wavelets. United states of America: Brooks/Cole. fq. 27. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[4] Gottlieb, David; Shu, Chi-Wang (janar 1997). "On the Gibbs Phenomenon and Its Resolution". SIAM Review (në anglisht). 39 (4): 644–668. doi:10.1137/S0036144596301390. ISSN 0036-1445.

[5] Gottlieb, Sigal; Jung, Jae-Hun; Kim, Saeja (mars 2011). "A Review of David Gottlieb's Work on the Resolution of the Gibbs Phenomenon". Communications in Computational Physics (në anglisht). 9 (3): 497–519. doi:10.4208/cicp.301109.170510s. ISSN 1815-2406.

[6] R. Hovden, Y. Jiang, H.L. Xin, L.F. Kourkoutis (2015). "Periodic Artifact Reduction in Fourier Transforms of Full Field Atomic Resolution Images". Microscopy and Microanalysis. 21 (2): 436–441. arXiv:2210.09024. doi:10.1017/S1431927614014639. PMID 25597865. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]