Seritë (matematikë)

Në matematikë, një seri është, përafërsisht, veprimi i shtimit të pafundësisht shumë madhësive, njëra pas tjetrës, mbi një madhësi fillestare. Studimi i serive është një pjesë kryesore e kalkulusit dhe përgjithësimit të tij, analizës matematikore . Seritë përdoren në shumicën e fushave të matematikës, madje edhe për studimin e strukturave të fundme (si p.sh. në kombinatorikë ) nëpërmjet funksioneve gjenerues . Përveç përhapjes së tyre në matematikë, seritë e pafundme përdoren gjerësisht edhe në disiplina të tjera sasiore si fizika, shkenca kompjuterike, statistika dhe financa .

Për një kohë të gjatë, ideja se një shumë e tillë potencialisht e pafundme mund të prodhonte një rezultat të fundëm konsiderohej paradoksale . Ky paradoks u zgjidh duke përdorur konceptin e një limiti gjatë shekullit të 17-të. Paradoksi i Zenonit për Akilin dhe breshkën ilustron këtë veti kundërintuitive të shumave të pafundme: Akili vrapon pas një breshke, por kur ai arrin pozicionin e breshkës në fillim të garës, breshka ka arritur një pozicion të dytë; kur ai arrin këtë pozicion të dytë, breshka është në një pozicion të tretë, e kështu me radhë. Zenoni arriti në përfundimin se Akili nuk mund ta arrinte kurrë breshkën, dhe kështu kjo lëvizje nuk ekziston. Zeno e ndau garën në pafundësisht shumë nën-gara, ku secila kërkon një kohë të kufizuar, kështu që koha totale për Akilin për të kapur breshkën jepet nga një seri. Zgjidhja e paradoksit është se, megjithëse seria ka një numër të pafund termash, ajo ka një shumë të fundme, e cila i jep kohën e nevojshme Akilit për të kapur breshkën.

Në terminologjinë moderne, çdo varg (i renditur) i pafundëm $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ të kufizave (d.m.th., numrave, funksioneve ose çdo gjëje që mund të shtohet) përcakton një seri, e cila është veprimi i mbledhjes së kufizave të vargut, $a_{i}$, njëra pas tjetrës. Për të theksuar se ka një numër të pafund termash, një seri mund të quhet seri e pafundme . Një seri e tillë përfaqësohet (ose shënohet) me një shprehje si

$$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots ,$$

ose, duke përdorur shenjën e shumës ,

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$$

Vargu i pafundëm i shumave të nënkuptuara nga një seri nuk mund të kryhet në mënyrë efektive (të paktën në një kohë të fundme). Megjithatë, nëse grupi të cilit i përkasin termat dhe shumat e tyre të fundme ka një nocion limit, ndonjëherë është e mundur t'i caktohet një vlerë një serie, e quajtur shuma e serisë. Kjo vlerë është kufiri pasi n tenton në pafundësi (nëse ekziston kufiri) i shumave të fundme të n termave të parë të serisë, të cilat quhen shumat e n ta të pjesshme të serisë. Kjo paraqitet si,

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$$

Kur ekziston ky kufi, thuhet se seria është konvergjente ose e përmbledhur, ose se sekuenca $(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )$ është konvergjente . Në këtë rast, kufiri quhet shuma e serisë. Ndryshe, seria thuhet se është divergjente .

Shënimi ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}}$ tregon si serinë - që është procesi i nënkuptuar i shtimit të termave njëri pas tjetrit në mënyrë të pacaktuar - dhe, nëse seria është konvergjente, shumën e serisë - rezultatin e procesit. Ky është një përgjithësim i konventës së ngjashme të shënjimit me $a+b$ si mbledhja - procesi i mbledhjes - dhe rezultati i tij - shuma e a dhe b .

Zakonisht, termat e një serie vijnë nga një unazë, shpesh nga fusha $\mathbb {R}$ të numrave realë ose të fushës $\mathbb {C}$ të numrave kompleksë . Në këtë rast, grupi i të gjitha serive është në vetvete një unazë (dhe madje një algjebër shoqëruese ), në të cilën mbledhja konsiston në shtimin e termit të serisë për term, dhe shumëzimi është prodhimi Cauchy .

Shembuj të serive numerike

$$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}.$$

• Një seri gjeometrike është ajo ku çdo term i njëpasnjëshëm prodhohet duke shumëzuar termin e mëparshëm me një numër konstant (i quajtur raport i përbashkët në këtë kontekst). Për shembull: $$1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}=2.$$

Në përgjithësi, seria gjeometrike

$$\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}$$

konvergon atëherë dhe vetëm atëherë kur ${\textstyle |z|<1}$, në të cilin rast ajo konvergon në ${\textstyle {1 \over 1-z}}$ .

• Seria harmonike është seria $$1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.$$

Seria harmonike është divergjente .

• Një seri alternative është një seri ku termat alternojnë shenjën. Shembuj: $$1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)^{n-1} \over n}=\ln(2)\quad$$

( seri harmonike alternative ) dhe

$$-1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}}{2n-1}}=-{\frac {\pi }{4}}$$

• Një seri teleskopike $$\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})$$

Pi

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}(4)}{2i-1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots =\pi$$

Logaritmi natyror i 2

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{i+1}}{i}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(2i+1)(2i+2)}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(i+1)(i+2)}}=2\ln(2)-1$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i\left(4i^{2}-1\right)}}=2\ln(2)-1$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}i}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }\left({\frac {1}{3^{i}}}+{\frac {1}{4^{i}}}\right){\frac {1}{i}}=\ln 2$$

$$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2i(2i-1)}}=\ln 2$$

Konvergjenca absolute

Një seri

$$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$$

konvergjon absolutisht nëse seria e vlerave absolute të saj

$$\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|$$

konvergon. Kjo është e mjaftueshme për të garantuar jo vetëm që seria origjinale konvergjon në një kufi, por edhe që çdo rirenditje e saj konvergjon në të njëjtin kufi.