Ekuacioni i shkallës së katërt

Grafiku i polinomit të shkallës së katërt, me tre pika kritike.

Funksioni i trajtës

Ku a është e ndryshme nga 0 me fjalë tjera polinomi i shkallës së katërt nëse barazohet me 0 atëherë fitohet ekuacioni i shkallës së katërt

ku a ≠ 0.

HistoriRedakto

Ekuacionet e shkallës së katërt për herë të parë janë shqyrtuar në Indi. Italiani Lodovico Ferrari për herë të parë i dha zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së katërt në vitin 1540, por pasi kjo zgjidhje kërkon që më parë të dihet zgjidhja e ekuacionit të shkallës së tretë të cilin e gjeti mentori i tij Gerolamo Cardano këto zgjidhje u botuan më vonë së bashku, në librin Ars Magna në vitin (1545).

Kjo është shkalla më e lartë (pra shkalla e katërt) e një polinomi me koeficient real i cili është i zgjidhshëm në radikale, pra me formula të cilat përdorin funksione elementare matematikore, këtë fakt e vërtetuan Abel-Ruffini në vitin 1824.

Zgjidhja e ekuacionitRedakto

Le të jetë dhënë ekuacioni

 

nëse   atëherë  , kështtuqë zero është një rrënjë. Për gjetjen e rrënjëve tjera, ne pjesëtojmë me   dhe pastaj e zgjidhim ekuacionin e shkallës së tretë,

 

është e qartë se rrënjët e tij janë 1, −1 dhe −k

nëse   atëherë  , pra   është rrënjë. Ngjajshëm nëse   atëherë,   pra   është rrënjë.

Kur   është rrënjë ne pjesëtojmë   me   dhe fitojmë

 

ku   është polinom i shkallës së tretë, i cili mund të zgjidhet. Ngjashëm nëse   është rrënjë,

 

ku   është polinom i shkallës së tretë.

Nëse   atëherë −k është rrënjë atëherë e faktorizojmë  ,

 

dhe nëse   atëherë rrënjë janë   dhe   Tani faktorizojmë   atëherë fitojmë

 

Përr të gjetur rrënjët tjera të Q ne e zgjidhim barazimin kuadratik.

Ekuacioni bikuadratik

Nëse   atëherë

 

ky lloj ekuacioni zgjidhet shumë lehtë.

Le të jetë   atëherë Q bëhet kuadratik sipas  

 

Le të jetë   dhe   rrënjët e q. atëherë rrënjët e Q janë

 

Ekuacioni kuazisimetrik

 

Hapat e zgjidhjes:

1) Pjestojmë me x 2.

2) fusim ndryshoren z = x + m/x.

Rasti i përgjithshëm

Në fillim e bëjmë reduktimin e rastit të përgjithshëm Le të jetë

 

forma e përgjithshme i ndajmë të dy anët e tij me A,

 

Në fillim e eliminojmë termin x3. e ndryshojmë variablën nga xu, ashtuqë

 .

atëherë

 

zhvillojmë fuqitë e binomeve

 

dhe i grupojmë antarët pranë fuqive të njejta të u dhe fitojmë se

 

Tani i riemërojmë koeficientet e u. Le të jetë

 

dhe fitojmë ekuacionin

 

i cili quhet ekuacion i reduktuar i shkallës së katërt.

Nëse   atëherë kemi ekuacion bikuadratik i cili u shqyrtua më sipër.

Nëse   atëherë njëra nga rrënjët është   dhe rrënjët tjera gjindet kur ekuacionin e pjestojmë me  , dhe e zgjidhim ekuacionin që fitohet pas këtij pjestimi i cili është i shkallës së tretë

 

nëse kthehemi te variablat e vjetra ne i gjejmë zgjidhjet sipas  .

Zgjidhja sipas FerraritRedakto