Funksioni gama i anasjelltë

Në matematikë, funksioni gama i anasjelltë $\Gamma ^{-1}(x)$ është funksioni i anasjelltë i funksionit gama . Me fjalë të tjera, kur $y=\Gamma ^{-1}(x)$ kurdoherë ${\textstyle \Gamma (y)=x}$ . Për shembull, $\Gamma ^{-1}(24)=5$ .

</img>

Grafiku i një funksioni gama të anasjelltë

</img>

Vizatimi i funksionit gama të anasjelltë në rrafshin kompleks

Zakonisht, funksioni gama i anasjelltë i referohet degës kryesore me domen në intervalin real $\left[\beta ,+\infty \right)$ dhe imazhi në intervalin real $\left[\alpha ,+\infty \right)$, ku $\beta =0.8856031\ldots$ është vlera minimale e funksionit gama në boshtin real pozitiv dhe $\alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots$ është vendndodhja e atij minimumi.

Përkufizimi

Funksioni gama i anasjelltë mund të përcaktohet nga paraqitja integrale e mëposhtme $$\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)\,,$$ ku $\mu (t)$ është një masë e Borelit e tillë që $$\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty \,,$$ dhe $a$ dhe $b$ janë numra realë me $b\geqq 0$ .

Përafrim

Për të llogaritur degët e funksionit gama të anasjelltë, së pari mund të llogaritet seria e Tejlorit e $\Gamma (x)$ në afërsi të $\alpha$ . Seria më pas mund të shkurtohet dhe përmbyset, gjë që jep përafrime më të mira të njëpasnjëshme $\Gamma ^{-1}(x)$ . Për shembull, ne kemi përafrimin kuadratik:

$$\Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.$$

Funksioni gama i anasjelltë ka gjithashtu formulën asimptotike të mëposhtme $$\Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}\,,$$ ku $W_{0}(x)$ është funksioni W i Lambertit. Formula gjendet duke përmbysur përafrimin Stirling, dhe kështu mund të zgjerohet edhe në një seri asimptotike.