Seritë e Tejlorit

Në matematikë, seria Tejlor ose zgjerimi Tejlor i një funksioni është një shumë e pafundme termash që shprehen në terma të derivateve të funksionit në një pikë të vetme. Për shumicën e funksioneve të zakonshme, funksioni dhe shuma e serisë së tij Tejlor janë të barabarta pranë kësaj pike. Seritë Tejlor janë emërtuar sipas Brook Taylor, i cili i paraqiti ato në 1715. Një seri Tejlor quhet gjithashtu një seri Maclaurin kur 0 është pika ku merren parasysh derivatet, pas Colin Maclaurin, i cili përdori gjerësisht këtë rast të veçantë të serisë së Tejlorit në mesin e shekullit të 18-të.

Ndërsa shkalla e polinomit Tejlor rritet, ai i afrohet funksionit të saktë. Ky imazh tregon sin x dhe përafrimet e tij Tejlor me polinome të shkallës 1, 3, 5, 7, 9, 11 dhe 13 në x = 0 .

Shuma e pjesshme e formuar nga n + 1 termat e parë të një serie Tejlor është një polinom i shkallës n që quhet polinomi i n -të Tejlor i funksionit. Polinomet e Tejlorit janë përafrime të një funksioni, të cilat në përgjithësi bëhen më të sakta kur rritet n . Teorema e Tejloritit jep vlerësime sasiore mbi gabimin e paraqitur nga përdorimi i përafrimeve të tilla. Një funksion mund të ndryshojë nga shuma e serisë së tij Taylor, edhe nëse seria e tij Taylor është konvergjente. Një funksion është analitik në një pikë x nëse është i barabartë me shumën e serisë së tij Tejlor në një interval të hapur (ose disk të hapur në planin kompleks ) që përmban vetë pikën x . Kjo nënkupton që funksioni është analitik në çdo pikë të intervalit (ose diskut).

Përkufizimi

Seria e Tejlorit e një funksioni real ose me vlerë komplekse $f(x)$ që është pafundësisht i diferencueshëm në një numër real ose kompleks a është seria e fuqisë

$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots ,$

ku n ! tregon faktorialin e n . Në shënimin sigma më kompakt, kjo mund të shkruhet si

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n},$

ku $f^{(n)}(a)$ tregon derivatin e n-të të $f$ të vlerësuar në pikën $a$ . (Derivati i rendit zero të $f$ është përcaktuar të jetë $f$ vetë dhe $(x-a)^{0}$ dhe $0!$ janë përcaktuar të dyja të jenë<span typeof="mw:Entity" id="mwWw"> </span>1 . )

Me a = 0, seria Meklaurin merr formën:

$f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f'''(0)}{3!}}x^{3}+\cdots ,$

ose në shënimin kompakt sigma:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.$

Shembuj

Seria e Tejlorit për çdo polinomi është vetë polinomi.

Seria Maclaurin e ${\frac {1}{1-x}}$ është seria gjeometrike

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots .$

Pra, duke zëvendësuar x për 1 − x, seria Tejlor e ${\frac {1}{x}}$ në $a=1$ është

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .$

Duke integruar serinë e mësipërme Meklaurin, gjejmë serinë Meklaurin të $\ln(1-x)$, ku ln tregon logaritmin natyror :

$-x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^{4}-\cdots .$

Seria përkatëse Tejlor e $\ln x$ në a = 1 është

$(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,$

dhe në përgjithësi, seria përkatëse e Taylor-it e $\ln x$ në një pikë arbitrare jozero a është:

$\ln a+{\frac {1}{a}}(x-a)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(x-a\right)^{2}}{2}}+\cdots .$

Seria Meklaurin e funksionit eksponencial e x është

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots .\end{aligned}}$

Zgjerimi i mësipërm vlen sepse derivati i $e^{x}$ në lidhje me x është gjithashtu $e^{x}$, dhe e 0 është i barabartë 1. Kjo i lë termat $(x-0)^{n}$ në numërues dhe $n!$ në emëruesin e çdo termi në shumën e pafundme.

Funksionet analitike

Funksioni e (−1/ x 2 ) nuk është analitik në x = 0 : seria e Tejlorit është identike 0, megjithëse funksioni nuk është.

Nëse $f(x)$ jepet nga një seri fuqie konvergjente në një disk të hapur me qendër në b në planin kompleks (ose një interval në vijën reale), thuhet se është analitik në këtë rajon. Kështu për $x$ në këtë rajon, $f$ jepet nga një seri fuqie konvergjente

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}.$

Duke diferencuar në lidhje me $x$ në formulën e mësipërme n herë, më pas vendosja e $x=b$ jep:

${\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

dhe kështu zgjerimi i serisë së fuqive përputhet me serinë e Tejlorit. Kështu, një funksion është analitik në një disk të hapur me qendër në b nëse dhe vetëm nëse seria e tij Tejlor konvergjon në vlerën e funksionit në çdo pikë të diskut.

Nëse $f(x)$ është e barabartë me shumën e serisë së saj Tejlor për të gjitha x në rrafshin kompleks, quhet e tërë . Polinomet, funksioni eksponencial e x, dhe funksionet trigonometrike sinusi dhe kosinusi, janë shembuj të funksioneve të tëra. Shembuj të funksioneve që nuk janë të tëra përfshijnë rrënjën katrore, logaritmin, tangjentën e funksionit trigonometrik dhe inversin e saj, arctan . Për këto funksione seria e Taylor-it nuk konvergjon nëse x është larg nga b . Kjo do të thotë, seria e Tejlor-it divergjon në x nëse largësia midis x dhe b është më e madhe se rrezja e konvergjencës . Seria Tejlor mund të përdoret për të llogaritur vlerën e një funksioni të tërë në çdo pikë, nëse vlera e funksionit dhe e të gjithë derivateve të tij janë të njohura në një pikë të vetme.

Përdorimet e serisë së Tejlorit për funksionet analitike përfshijnë:

1. Shumat e pjesshme ( polinomet e Tejlorit ) të serisë mund të përdoren si përafrime të funksionit. Këto përafrime janë të mira nëse përfshihen mjaft terma.
2. Diferencimi dhe integrimi i serive të fuqisë mund të kryhet term pas termi dhe për këtë arsye është veçanërisht i lehtë.
3. Një funksion analitik shtrihet në mënyrë unike në një funksion holomorfik në një disk të hapur në planin kompleks . Kjo bën të gatshme makinerinë e analizës komplekse .
4. Seria (e cunguar/ e prerë) mund të përdoret për të llogaritur vlerat e funksionit në mënyrë numerike, (shpesh duke e riformuar polinomin në formën Çebishev dhe duke e vlerësuar atë me algoritmin Klenshau ).
5. Veprimet algjebrike mund të bëhen lehtësisht në paraqitjen e serisë së fuqisë; për shembull, formula e Euler- it vjen nga zgjerimet e serisë së Tejlorit për funksionet trigonometrike dhe eksponenciale. Ky rezultat është i një rëndësie thelbësore në fusha të tilla si analiza harmonike .
6. Përafrimet duke përdorur termat e parë të një serie Tejlor mund të bëjnë të mundshme probleme të pazgjidhshme për një fushë të kufizuar; kjo qasje përdoret shpesh në fizikë.

Gabimi i përafrimit dhe konvergjenca

Funksioni sinus (blu) përafrohet ngushtë me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës 7 (rozë) për një periudhë të plotë të përqendruar në origjinë.

Polinomet e Taylor për ln(1 + x ) ofrojnë vetëm përafrime të sakta në segmentin −1 < x ≤ 1 . Për x > 1, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë ofrojnë përafrime më të këqija.

Përafrimet e Tejlorit për ln(1 + x ) (e zezë). Për x > 1, përafrimet ndryshojnë.

Në foto është një përafrim i saktë i $sin(x)$ rreth pikës x = 0 . Kurba rozë është një polinom i shkallës shtatë:

$\sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.\!$

Gabimi në këtë përafrim nuk është më shumë se ${\frac {|x|^{9}}{9!}}$ . Për një cikël të plotë të përqendruar në origjinë ($-\pi <x<\pi$ ) gabimi është më i vogël se 0,08215. Në veçanti, për $-1<x<1$, gabimi është më i vogël se 0.000003.

Në të kundërt, tregohet gjithashtu një fotografi e funksionit të logaritmit natyror $\ln(1+x)$ dhe disa prej polinomeve të tij Taylor rreth a = 0 . Këto përafrime konvergjojnë me funksionin vetëm në rajonin −1 < x ≤ 1 ; jashtë këtij rajoni, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë janë përafrime më të këqija për funksionin.

Gabimi i bërë në përafrimin e një funksioni me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës së n -të quhet mbetje dhe shënohet me funksionin $R_{n}(x)$ . Teorema e Tejlorit mund të përdoret për të marrë një kufi në madhësinë e pjesës së mbetur .

Lista e serive Meklauren të disa funksioneve të zakonshme

Pasojnë disa zgjerime të rëndësishme të serive Maclaurin. Të gjitha këto zgjerime janë të vlefshme për argumentet komplekse x .

Funksioni eksponencial

Funksioni eksponencial $e^{x}$ (me blu), dhe shuma e n + 1 termave të parë të serisë së tij Tejlor në 0 (me të kuqe).

Funksioni eksponencial $e^{x}$ (me bazën e ) ka serinë Maklauren

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$ .

Kjo seri konvergjon për të gjitha x .

Funksioni gjenerues eksponencial i numrave Bell është funksioni eksponencial i paraardhësit të funksionit eksponencial:

$\exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}$

Logaritmi natyror

Logaritmi natyror (me bazën e ) ka seri Maklauren

${\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}$

Ato konvergjojnë për $|x|<1$ . (Përveç kësaj, seria për $\ln(1-x)$ konvergjon për x = −1, dhe seria për $\ln(1+x)$ konvergjon për x = 1 . )

Seria gjeometrike

Seria gjeometrike dhe derivatet e saj kanë seri Maklauren

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}$

Të gjitha janë konvergjente për $|x|<1$ . Këto janë raste të veçanta të serisë binomale të dhëna në seksionin vijues.

Seria binomiale

Seria binomiale është seria e fuqisë$$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$$koeficientët e të cilëve janë koeficientët binomialë të përgjithësuar$${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$$(Nëse n = 0, ky produkt është një produkt bosh dhe ka vlerën 1. ) Konvergjon për $|x|<1$ për çdo numër real ose kompleks α .

Kur α = -1, kjo është në thelb seria e pafundme gjeometrike e përmendur në pjesën e mëparshme. Rastet e veçanta α = 1/2 dhe a = -1/2 japin rrënjën katrore dhe një ndaj rrënjës katrore:$${\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8}}x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x^{5}-\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4}-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}$$Kur ruhet vetëm termi linear, kjo thjeshton përafrimin binomial .

Funksionet trigonometrike

Funksionet e zakonshme trigonometrike dhe të anasjelltët e tyre kanë seritë e mëposhtme të Maclaurin:

${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$

Të gjitha këndet janë të shprehura në radianë . Numrat $B_{k}$që shfaqen në zgjerimet e $\tan(x)$ janë numrat e Bernulit . $E_{k}$ në zgjerimin e $\sec(x)$ janë numrat e Eulerit .

Funksionet hiperbolike

Funksionet hiperbolike kanë serinë Maklauren të lidhura ngushtë me serinë për funksionet trigonometrike përkatëse:

${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}$

Numrat $B_{k}$ që shfaqen në serinë për$\tanh(x)$ janë numrat e Bernulit .

Funksionet polilogaritmike

Pollogaritmet kanë këto identitete përcaktuese:

${\text{Li}}_{2}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}$

${\text{Li}}_{3}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}$

Funksionet Legendre hi përcaktohen si më poshtë:

$\chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}$

$\chi _{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}$

Dhe formulat e paraqitura më poshtë quhen integrale tangjente të anasjellta :

${\text{Ti}}_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}$

${\text{Ti}}_{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}$

Në termodinamikën statistikore këto formula kanë një rëndësi të madhe.

Llogaritja e serisë Taylor

Ekzistojnë disa metoda për llogaritjen e serive të Tejlorit të një numri të madh funksionesh. Dikush mund të përpiqet të përdorë përkufizimin e serisë Tejlor, megjithëse kjo shpesh kërkon përgjithësimin e formës së koeficientëve sipas një modeli lehtësisht të dukshëm. Përndryshe, mund të përdoren manipulime të tilla si zëvendësimi, shumëzimi ose pjesëtimi, shtimi ose zbritja e serive standarde Tejlor për të ndërtuar serinë gjegjëse të një funksioni, për shkak se seria Tejlor është seri e fuqisë. Në disa raste, mund të nxirret edhe seria Tejlor duke aplikuar në mënyrë të përsëritur integrimin sipas pjesëve . Veçanërisht i përshtatshëm është përdorimi i sistemeve kompjuterike algjebër për të llogaritur seritë në fjalë.

Shembulli i parë

Për të llogaritur polinomin Meklauren të shkallës së 7-të për funksionin

$f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in \left(-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right)$ ,

së pari mund të rishkruhet funksioni si

$f(x)=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\!$ .

Seria Tejlor për logaritmin natyror është (duke përdorur shënimin e madh O )

$\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{O}\left(x^{4}\right)\!$

dhe për funksionin kosinus

$\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\!$ .

Zgjerimi i serisë së fundit ka një term konstant zero, i cili na mundëson të zëvendësojmë serinë e dytë me të parën dhe të zbresim lehtësisht termat e rendit më të lartë se shkalla e 7-të duke përdorur shënimin e madh O :

${\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+{O}\left((\cos x-1)^{4}\right)\\&=\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+{O}\left(x^{8}\right)\right)-{\frac {1}{2}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{O}\left(x^{6}\right)\right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(-{\frac {x^{2}}{2}}+O\left(x^{4}\right)\right)^{3}+{O}\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}-{\frac {x^{4}}{8}}+{\frac {x^{6}}{48}}-{\frac {x^{6}}{24}}+O\left(x^{8}\right)\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O\left(x^{8}\right).\end{aligned}}\!$

Meqenëse kosinusi është një funksion çift, koeficientët për të gjitha fuqitë $x^{1},x^{3},x^{5},x^{7}$ ... duhet të jenë zero.

Shembulli i dytë

Supozoni se duam serinë e Tejlorit në 0 të funksionit

$g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}.\!$

Kemi për funksionin eksponencial

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \!$

dhe, si në shembullin e parë,

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \!$

Supozoni se seria e fuqisë është

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \!$

Pastaj shumëzimi me emëruesin dhe zëvendësimi i serisë së kosinusit jep

${\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots \right)\cos x\\&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\&=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+c_{4}x^{4}+\cdots \end{aligned}}\!$

Mbledhja e termave deri në rendin e katërt jep

$e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \!$

Vlerat e $c_{i}$ mund të gjendet duke krahasuar koeficientët me shprehjen e sipërme për $e^{x}$, duke dhënë:

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots .\!$

Shembull

Përafrimi i serisë së Tejlorit të rendit të dytë (në portokalli) i një funksioni $f(x,y)=e^{x}\ln {1+y}$ rreth origjinës.

Për të llogaritur një zgjerim të serisë Taylor të rendit të dytë rreth pikës $(a,b)=(0,0)$ të funksionit

$f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),$

së pari llogariten të gjitha derivatet e nevojshme të pjesshme:

${\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}}\\[6pt]f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y)\\[6pt]f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}}\\[6pt]f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}$

Vlerësimi i këtyre derivateve në origjinë jep koeficientët e Tejlorit

${\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0\\f_{y}(0,0)&=1\\f_{xx}(0,0)&=0\\f_{yy}(0,0)&=-1\\f_{xy}(0,0)&=f_{yx}(0,0)=1.\end{aligned}}$

Zëvendësimi i këtyre vlerave në formulën e përgjithshme

${\begin{aligned}T(x,y)=&f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&{}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}$

jep

${\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}$

Meqenëse $\ln(1+y)$ është analitike në $|y|<1$, kemi

$e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.$