Funksioni eksponencial

Në matematikë, një funksion eksponencial është një funksion i formës:

Funksioni eksponencial natyror y = $e^{x}$

Funksionet eksponenciale me bazat 2 dhe 1/2

$f(x)=ab^{x}$

ku b është një numër real pozitiv jo i barabartë me 1, dhe argumenti apo ndyshorja x paraqitet si eksponent. Për numrat realë c dhe d, një funksion i formës $f(x)=ab^{cx+d}$ është gjithashtu një funksion eksponencial.

• Për b > 1, funksioni $b^{x}$ është në rritje (është rritës,siç përshkruhet për b = e dhe b = 2 ), sepse $\log _{e}b>0$ e bën derivatin gjithmonë pozitiv;
• Për b <1, funksioni është në zvogëlim (është zvogëues,siç përshkruhet për b = 1/2);
• Për b = 1 funksioni është konstant sepse për çdo x, $1^{x}=1$.

Grafiku i $y=e^{x}$ është i pjerrët lart, dhe rritet më shpejt kur x rritet. Grafiku qëndron gjithmonë mbi boshtin x, por i afrohet pambarimisht atij për x mëdha negative; kështu, boshti x është një asimptotë horizontale. Funksioni i tij i anasjelltë është logaritmi natyror, i shënuar $\log ,$ $\ln ,$ ose $\log _{e};$ për shkak të kësaj, disa tekste të vjetra referohen funksionit eksponencial si antilogaritmi .

Mund të tregohet se çdo zgjidhje e vazhdueshme, jo zero e ekuacionit funksional $f(x+y)=f(x)f(y)$ është një funksion eksponencial, $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto b^{x},$ me $b>0.$ Identiteti shumëzues, së bashku me përkufizimin $e=e^{1}$, tregon se $e^{n}=\underbrace {e\times \cdots \times e} _{n{\text{ terms}}}$ për numrat e plotë pozitivë n, që lidhin funksionin eksponencial me nocionin themelor të eksponentimit.

Argumenti i funksionit eksponencial mund të jetë çdo numër real ose kompleks, apo edhe një lloj krejtësisht i ndryshëm objekti matematikor (p.sh., matrica ).

Prania e gjithanshme e funksionit eksponencial në matematikën e pastër dhe të zbatuar e ka çuar matematikanin W. Rudin të mendojë se funksioni eksponencial është "funksioni më i rëndësishëm në matematikë". Në cilësimet e zbatuara, funksionet eksponenciale modelojnë një marrëdhënie në të cilën një ndryshim i vazhdueshëm në ndryshoren e pavarur jep të njëjtin ndryshim proporcional (dmth., Rritja ose zvogëlimi i përqindjes) në ndryshoren e varur. Kjo ndodh gjerësisht në shkencat natyrore dhe shoqërore, si në një popullsi vetë-riprodhuese, një fond që grumbullon interes të përbërë, ose një organ në rritje të ekspertizës së prodhimit . Kështu, funksioni eksponencial shfaqet gjithashtu në një larmi kontekstesh brenda fizikës, kimisë, inxhinierisë, biologjisë matematikore dhe ekonomisë .

Përkufizimi zyrtar

Funksioni eksponencial (në blu), dhe shuma e termave të parë n + 1 të serisë së tij të energjisë (me të kuqe).

Funksioni real eksponencial $\exp \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mund të karakterizohet në një larmi mënyrash të njëvlershme. Zakonisht përcaktohet nga seritë e mëposhtme :

$\exp x:=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+\cdots$

Meqenëse rrezja e konvergjencës së kësaj serie fuqish është e pafundme, ky përkufizim është, në fakt, i zbatueshëm për të gjithë numrat kompleksë $z\in \mathbb {C}$ (shih § Complex plane për zgjatjen e $e^{x}$ në planin kompleks). Konstantja e pastaj mund të përkufizohet si ${\textstyle e=\exp 1=\sum _{k=0}^{\infty }(1/k!).}$

Diferencimi term pas termi i kësaj serie fuqie zbulon se ${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}$ për të gjithë x-et reale, duke çuar në një karakterizim tjetër të përbashkët të $e^{x}$ si zgjidhje unike e ekuacionit diferencial

$y'(x)=y(x),$

duke përmbushur kushtin fillestar $y(0)=1.$

Bazuar në këtë karakterizim, rregulli i zinxhirit tregon se funksioni i tij i anasjelltë, logaritmi natyror, kënaq $(d/dy)(\log _{e}y)=1/y$ për $y>0,$ ose ${\textstyle \log _{e}y=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.}$ Kjo marrëdhënie çon në një përkufizim më pak të zakonshëm të funksionit real eksponencial $\exp x$ si zgjidhje $y$ te ekuacioni

$x=\int _{1}^{y}{\frac {1}{t}}\,dt.$

Me anë të teoremës së binomit dhe përcaktimit të serisë së energjisë, funksioni eksponencial mund të përcaktohet gjithashtu si kufiri vijues:

$\exp x=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

Përmbledhje

Lakorja e kuqe është funksioni eksponencial. Vijat e zeza horizontale tregojnë se ku kalon vijat vertikale të gjelbërta.

Funksioni eksponencial lind sa herë që një sasi rritet ose prishet në një normë proporcionale me vlerën e saj aktuale. Një situatë e tillë është interesi i përbërë vazhdimisht, dhe në fakt ishte kjo vëzhgim që e çoi Jacob Bernoulli në 1683 në numrin

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

tani njihet si e . Më vonë, në 1697, Johann Bernoulli studioi gurin e funksionit eksponencial.

Derivati (shkalla e ndryshimit) e funksionit eksponencial është vetë funksioni eksponencial. Në përgjithësi, një funksion me një normë ndryshimi proporcional me vetë funksionin (në vend se i barabartë me të) është i shprehur në aspektin e funksionit eksponencial. Kjo veti e funksionit çon në rritje eksponenciale ose prishje eksponenciale .

Funksioni eksponencial shtrihet në një funksion të tërë në planin kompleks . Formula e Euler lidh vlerat e saj me argumente thjesht imagjinare me funksionet trigonometrike . Funksioni eksponencial gjithashtu ka analoge për të cilat argumenti është një matricë, apo edhe një element i një algjebra Banach ose një algjebër Lie .

Derivatet dhe ekuacionet diferenciale

Derivati i funksionit eksponencial është i barabartë me vlerën e funksionit. Nga çdo pikë P në kurbë (blu), le të vizatohet një vijë tangjente (e kuqe), dhe një vijë vertikale (jeshile) me lartësi h, duke formuar një trekëndësh kënddrejtë me një bazë b në boshtin x . Meqenëse pjerrësia e vijës së kuqe tangjente (derivati) në P është e barabartë me raportin e lartësisë së trekëndëshit me bazën e trekëndëshit (ngritje mbi vrapim), dhe derivati është i barabartë me vlerën e funksionit, h duhet të jetë e barabartë me raporti i h me b . Prandaj, baza b duhet të jetë gjithmonë 1

Rëndësia e funksionit eksponencial në matematikë dhe shkenca buron kryesisht nga vetia e tij si funksion unik i cili është i barabartë me derivatin e tij dhe është i barabartë me 1 kur x = 0 . Kjo eshte,

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}\quad {\text{and}}\quad e^{0}=1.$

Funksionet e trajtës $C\cdot e^{x}$ për çdo konstante C janë funksionet e vetme që janë të barabarta me derivatin e tyre (nga teorema Picard – Lindelöf ). Veti të tjera të funksionit eksponencial përfshijnë:

• Pjerrësia e grafikut në çdo pikë është vlera e funksionit në atë pikë.
• Shkalla e rritjes së funksionit në x është e barabartë me vlerën e funksionit në x .
• Funksioni zgjidh ekuacionin diferencial y ′ = y .
• Shembull është një pikë fikse e derivatit si funksionale .

Nëse rritja ose prishja e një variabli është proporcionale me madhësinë e saj - siç është rasti në rritjen e pakufizuar të popullsisë (shih katastrofën Malthusiane ), interesi i përbërë vazhdimisht ose prishja radioaktive - atëherë variabla mund të shkruhet si një kohë konstante e një funksioni eksponencial të kohës . Në mënyrë të qartë për çdo konstante reale k, një funksion f : R → R kënaq $f'=k\cdot f'$ nëse dhe vetëm nëse $f(x)=c\cdot e^{kx}$ për disa c konstante. Konstantja k quhet konstante e shpërbërjes, konstante e shpejtësisë, ose konstante e transformimit .

Për më tepër, për çdo funksion të diferencueshëm f ( x ), nga rregulli i zinxhirit gjejmë:

${\frac {d}{dx}}e^{f(x)}=f'(x)e^{f(x)}.$

Thyesat e vazhduara për $e^{x}$

Një fraksion i vazhdueshëm për e x mund të merret përmes një identiteti të Euler :

$e^{x}=1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {x}{x+2-{\cfrac {2x}{x+3-{\cfrac {3x}{x+4-\ddots }}}}}}}}$

Fraksioni i vijuar i përgjithësuar i vazhduar për $e^{z}$konvergon më shpejt:

$e^{z}=1+{\cfrac {2z}{2-z+{\cfrac {z^{2}}{6+{\cfrac {z^{2}}{10+{\cfrac {z^{2}}{14+\ddots }}}}}}}}$

ose në rastet kur z=2:

$e^{2}=1+{\cfrac {4}{0+{\cfrac {2^{2}}{6+{\cfrac {2^{2}}{10+{\cfrac {2^{2}}{14+\ddots \,}}}}}}}}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots \,}}}}}}}}$

Llogaritja

Kur llogaritni (një përafrim të) funksionit eksponencial pranë argumentit 0, rezultati do të jetë afër 1, dhe llogaritjen e vlerës së diferencës $\exp x-1$ me aritmetikë me pikë lundruese mund të çojë në humbjen e (ndoshta të gjitha) figurave të rëndësishme, duke prodhuar një gabim të madh llogaritje, ndoshta edhe një rezultat të pakuptimtë.

Pas një propozimi nga William Kahan, mund të jetë e dobishme të kesh një rutinë të dedikuar, shpesh të quajtur expm1, për llogaritjen ex - 1 direkt, duke anashkaluar llogaritjen e e x . Për shembull, nëse eksponenciali llogaritet duke përdorur seritë e tij Taylor

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots ,$

dikush mund të përdorë serinë Taylor të $e^{x}-1:$

$e^{x}-1=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}+\cdots .$

Kjo u zbatua për herë të parë në vitin 1979 në llogaritësin Hewlett-Packard HP-41C, dhe u sigurua nga disa kalkulatorë, sisteme operative (për shembull Berkeley UNIX 4.3BSD ), sisteme algjebra kompjuterike dhe gjuhë programimi ( për shembull C99 ).

Përveç bazës e, standardi IEEE 754-2008 përcakton funksione të ngjashme eksponenciale afër 0 për bazën 2 dhe 10: $2^{x}-1$ dhe $10^{x}-1$ .

Një qasje e ngjashme është përdorur për logaritmin (shih lnp1 ).

Një identitet në lidhje me tangjentën hiperbolike ,

$\operatorname {expm1} (x)=\exp x-1={\frac {2\tanh(x/2)}{1-\tanh(x/2)}},$

jep një vlerë me precizion të lartë për vlerat e vogla të x në sistemet që nuk zbatojnë expm1(x ) .

Referime

• McGraw-Hill Encyclopedia of Science & Technology (10th ed.). New York: McGraw-Hill. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8.
• Serway, Raymond A.; Moses, Clement J.; Moyer, Curt A. (1989), Modern Physics, Fort Worth: Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0-03-004844-3
• Simmons, George F. (1972), Differential Equations with Applications and Historical Notes, New York: McGraw-Hill, LCCN 75173716

Linqe te jashtme

• "Exponential function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• "Complex exponential function". PlanetMath.
• "Derivative of exponential function". PlanetMath.