Funksioni i rrumbullakët

Në topologji dhe në kalkulus, një funksion i rrumbullakët është një funksion skalar $M\to {\mathbb {R} }$, mbi një manifold $M$, pikat kritike të të cilave formojnë një ose disa komponentë të lidhur, secili homeomorfik me rrethin $S^{1}$, të quajtura edhe laqe (loops) kritike. Janë raste të veçanta të funksioneve Morse-Bott .

Rrethi i zi në një nga këto laqe kritike.

Për shembull

Për shembull, le të jetë $M$ një torus . Le të jetë

$K=(0,2\pi )\times (0,2\pi ).\,$

Atëherë ne dimë se një hartë

$X\colon K\to {\mathbb {R} }^{3}\,$

e dhënë nga

$X(\theta ,\phi )=((2+\cos \theta )\cos \phi ,(2+\cos \theta )\sin \phi ,\sin \theta )\,$

është një parametrizim për pothuajse gjithë $M$. Tani, përmes projeksionit $\pi _{3}\colon {\mathbb {R} }^{3}\to {\mathbb {R} }$ marrim kufizimin

$G=\pi _{3}|_{M}\colon M\to {\mathbb {R} },(\theta ,\phi )\mapsto \sin \theta \,$

$G=G(\theta ,\phi )=\sin \theta$ është një funksion, grupet kritike të të cilit përcaktohen nga

${\rm {grad}}\ G(\theta ,\phi )=\left({{\partial }G \over {\partial }\theta },{{\partial }G \over {\partial }\phi }\right)\!\left(\theta ,\phi \right)=(0,0),\,$

kjo është nëse dhe vetëm nëse $\theta ={\pi \over 2},\ {3\pi \over 2}$ .

Këto dy vlera për $\theta$ jepni grupet kritike

$X({\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,1)\,$

$X({3\pi /2},\phi )=(2\cos \phi ,2\sin \phi ,-1)\,$

të cilat përfaqësojnë dy rrathë të skajshëm mbi torusin $M$ .

Vëreni se Hesiani për këtë funksion është

${\rm {hess}}(G)={\begin{bmatrix}-\sin \theta &0\\0&0\end{bmatrix}}$

e cila qartë e zbulon veten si ranku i ${\rm {hess}}(G)$ i barabartë me një në rrathët e etiketuar, duke e bërë pikën kritike të degjeneruar, domethënë, duke treguar se pikat kritike nuk janë të izoluara.