Në matematikë , një funksion tregues ose një funksion karakteristik i një nënbashkësie të një grupi është një funksion që harton elementet e nëngrupit në një dhe të gjithë elementët e tjerë në zero. Kjo do të thotë, nëse
A
{\displaystyle \operatorname {A} }
X
{\displaystyle \operatorname {X} }
1
A
(
x
)
=
1
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=1}
x
∈
A
,
{\displaystyle x\in A,}
1
A
(
x
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=0}
1
A
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}}
I
A
,
{\displaystyle I_{A},}
χ
A
.
{\displaystyle \chi _{A}.}
Një grafik tredimensional i një funksioni tregues, i paraqitur mbi një fushë dy-dimensionale katrore (bashkësia X ): pjesa "e ngritur" mbivendos ato pika dy-dimensionale që janë anëtare të nëbashkësisë "së treguar" ( A ). Funksioni tregues i
A
{\displaystyle \operatorname {A} }
A
{\displaystyle \operatorname {A} }
1
A
(
x
)
=
[
x
∈
A
]
.
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}
Për shembull, funksioni Dirichlet është funksioni tregues i numrave racionalë si një nënbashkësi e numrave realë .
E ç'është funksioni tregues?
Redakto
Funksioni tregues i një nënbashkësie A të një bashkësie X është një funksion
1
A
:
X
→
{
0
,
1
}
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}
Vetitë themelore
Redakto
Treguesi ose funksioni karakteristik i një nënbashkësie A të disa grupeve X paraqet elementet e X në diapazonin
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
Ky hartëzim është syrjektiv vetëm kur A është një nënbashkësi e duhur jo boshe e X . Nëse
A
≡
X
,
{\displaystyle A\equiv X,}
1
A
=
1.
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1.}
A
≡
∅
{\displaystyle A\equiv \emptyset }
1
A
=
0.
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0.}
Nëse
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
X
,
{\displaystyle X,}
1
A
∩
B
=
min
{
1
A
,
1
B
}
=
1
A
⋅
1
B
,
1
A
∪
B
=
max
{
1
A
,
1
B
}
=
1
A
+
1
B
−
1
A
⋅
1
B
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}}
Mesatarja, varianca dhe kovarianca
Redakto
Duke pasur parasysh një hapësirë probabiliteti
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}
A
∈
F
,
{\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}
1
A
:
Ω
→
R
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }
1
A
(
ω
)
=
1
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}
ω
∈
A
,
{\displaystyle \omega \in A,}
1
A
(
ω
)
=
0.
{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}
Mesatarja
E
(
1
A
(
ω
)
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}
Varianca
Var
(
1
A
(
ω
)
)
=
P
(
A
)
(
1
−
P
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}
Kovarianca
Cov
(
1
A
(
ω
)
,
1
B
(
ω
)
)
=
P
(
A
∩
B
)
−
P
(
A
)
P
(
B
)
{\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}
Derivatet e funksionit tregues
Redakto
Një funksion i veçantë tregues është funksioni i hapit Heaviside
H
(
x
)
:=
1
x
>
0
{\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x>0}}
d
H
(
x
)
d
x
=
δ
(
x
)
{\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)}
![{\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00af42be0e623a2d4254bcc50c72239c4d5dece0)
