Funksioni tregues

Në matematikë, një funksion tregues ose një funksion karakteristik i një nënbashkësie të një grupi është një funksion që harton elementet e nëngrupit në një dhe të gjithë elementët e tjerë në zero. Kjo do të thotë, nëse $\operatorname {A}$ është një nënbashkësi e ndonjë bashkësie $\operatorname {X}$, atëherë $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ nëse $x\in A,$ dhe $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ përndryshe, ku $\mathbf {1} _{A}$ është një shënim i zakonshëm për funksionin tregues. Shënime të tjera të zakonshme janë $I_{A},$ dhe $\chi _{A}.$

Një grafik tredimensional i një funksioni tregues, i paraqitur mbi një fushë dy-dimensionale katrore (bashkësia X ): pjesa "e ngritur" mbivendos ato pika dy-dimensionale që janë anëtare të nëbashkësisë "së treguar" ( A ).

Funksioni tregues i $\operatorname {A}$ është kllapa Iverson e vetive të përkatësisë $\operatorname {A}$ ; kjo sjell,

$\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].$

Për shembull, funksioni Dirichlet është funksioni tregues i numrave racionalë si një nënbashkësi e numrave realë .

E ç'është funksioni tregues?

Funksioni tregues i një nënbashkësie A të një bashkësie X është një funksion$$\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}$$i përcaktuar si$$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}$$

Vetitë themelore

Treguesi ose funksioni karakteristik i një nënbashkësie A të disa grupeve X paraqet elementet e X në diapazonin $\{0,1\}$ .

Ky hartëzim është syrjektiv vetëm kur A është një nënbashkësi e duhur jo boshe e X . Nëse $A\equiv X,$ pastaj $\mathbf {1} _{A}=1.$ Me një argument të ngjashëm, nëse $A\equiv \emptyset$ pastaj $\mathbf {1} _{A}=0.$

Nëse $A$ dhe $B$ janë dy nënbashkësi të $X,$ pastaj$${\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}$$

Mesatarja, varianca dhe kovarianca

Duke pasur parasysh një hapësirë probabiliteti $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ me $A\in {\mathcal {F}},$ ndryshorja e rastit treguese $\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ është e përcaktuar nga $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ nëse $\omega \in A,$ ndryshe $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$

Mesatarja

$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ (e quajtur edhe "Ura Themelore").

Varianca

$\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

Kovarianca

$\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

Derivatet e funksionit tregues

Një funksion i veçantë tregues është funksioni i hapit Heaviside$$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}$$Derivati shpërndarës i funksionit të hapit Heaviside është i barabartë me funksionin delta Dirac, dmth$${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)$$