Fushat vektoriale në koordinata cilindrike dhe sferike

Shënim: Kjo faqe përdor shënime të zakonshme të fizikës për koordinatat sferike, në të cilat $\theta$ është këndi ndërmjet boshtit z dhe vektorit të rrezes që lidh origjinën me pikën në fjalë, ndërsa $\phi$ është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit të rrezes në rrafshin xy dhe boshtit x . Disa përkufizime të tjera janë në përdorim, prandaj duhet pasur kujdes në krahasimin e burimeve të ndryshme.

Koordinatat sferike ( r, θ, φ ) siç përdoren zakonisht në fizikë : distanca radiale r, këndi polar θ ( theta ) dhe këndi azimutal φ ( phi ). Simboli ρ ( rho ) përdoret shpesh në vend të r .

Sistemi i koordinatave cilindrike

Fushat vektoriale

Vektorët përcaktohen në koordinata cilindrike me treshen e renditur ( ρ, φ, z ), ku

• ρ është gjatësia e vektorit të projektuar në planin xy ,
• φ është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit në rrafshin xy (dmth. ρ ) dhe boshtit pozitiv x (0 ≤ φ < 2 π ),
• z është koordinata e rregullt z .

( ρ, φ, z ) jepet në koordinatat karteziane nga:

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho \cos \phi \\\rho \sin \phi \\z\end{bmatrix}}.$$

ose anasjelltas nga:

$$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{\rho }\mathbf {\hat {\rho }} +A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{z}\mathbf {\hat {z}}$$

Çdo fushë vektoriale mund të shkruhet në terma të vektorëve njësi si:

$${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {\rho }} \\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$$

Vektorët njësi cilindrikë janë të lidhur me vektorët njësi kartezianë nga:

$${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{x}{\hat {\mathbf {x} }}+{\dot {A}}_{y}{\hat {\mathbf {y} }}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\mathbf {z} }}$$

Derivati kohor i një fushe vektoriale

Për të zbuluar se si ndryshon fusha vektoriale A në kohë, duhet të llogariten derivatet e kohës. Për këtë qëllim , shënimi i Njutonit do të përdoret për derivatin e kohës ( ${\dot {\mathbf {A} }}$ ). Në koordinatat karteziane kjo jepet thjesht si:

$${\dot {\mathbf {A} }}={\dot {A}}_{\rho }{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+A_{\rho }{\dot {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\hat {\boldsymbol {\phi }}}+A_{\phi }{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}+{\dot {A}}_{z}{\hat {\boldsymbol {z}}}+A_{z}{\dot {\hat {\boldsymbol {z}}}}$$

Megjithatë/Sidoqoftë, në koordinatat cilindrike kjo bëhet:

$${\begin{aligned}{\dot {\hat {\mathbf {\rho } }}}&={\dot {\phi }}{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\\{\dot {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}{\hat {\mathbf {\rho } }}\\{\dot {\hat {\mathbf {z} }}}&=0\end{aligned}}$$

Nevojiten derivatet kohore të vektorëve njësi. Ato jepen nga:

$${\dot {\mathbf {A} }}={\hat {\boldsymbol {\rho }}}\left({\dot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\boldsymbol {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\dot {\phi }}\right)+{\hat {\mathbf {z} }}{\dot {A}}_{z}$$

Pra, derivati i kohës thjeshtohet në:

$${\begin{bmatrix}\rho \\\phi \\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\operatorname {arctan} (y/x)\\z\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$$

Derivati i dytë kohor i një fushe vektoriale

Derivati i dytë sipas kohës është me interes në fizikë, pasi gjendet në ekuacionet e lëvizjes për sistemet mekanike klasike . Derivati i dytë kohor i një fushe vektoriale në koordinatat cilindrike jepet nga:

$$\mathbf {\ddot {A}} =\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {A}}_{\rho }-A_{\phi }{\ddot {\phi }}-2{\dot {A}}_{\phi }{\dot {\phi }}-A_{\rho }{\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\ddot {A}}_{\phi }+A_{\rho }{\ddot {\phi }}+2{\dot {A}}_{\rho }{\dot {\phi }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}^{2}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {A}}_{z}$$

Për të kuptuar këtë shprehje, A zëvendësohet me P, ku P është vektori ( ρ, φ, z ).Kjo do të thotë se $\mathbf {A} =\mathbf {P} =\rho \mathbf {\hat {\rho }} +z\mathbf {\hat {z}}$ .

Pas zëvendësimit jepet rezultati:

$${\ddot {\mathbf {P} }}=\mathbf {\hat {\rho }} \left({\ddot {\rho }}-\rho {\dot {\phi }}^{2}\right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left(\rho {\ddot {\phi }}+2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}\right)+\mathbf {\hat {z}} {\ddot {z}}$$

$${\begin{aligned}{\ddot {\rho }}\mathbf {\hat {\rho }} &={\text{nxitimi i jashtëm qëndror}}\\-\rho {\dot {\phi }}^{2}\mathbf {\hat {\rho }} &={\text{nxitimi qëndërsynues}}\\\rho {\ddot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\text{nxitimi këndor}}\\2{\dot {\rho }}{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}&={\text{efekti i Koriolisit}}\\{\ddot {z}}\mathbf {\hat {z}} &={\text{nxitimi-z}}\end{aligned}}$$

Sistemi i koordinatave sferike

Fushat vektoriale

Vektorët përcaktohen në koordinata sferike me ( r, θ, φ ), ku

• r është gjatësia e vektorit,
• θ është këndi ndërmjet boshtit pozitiv Z dhe vektorit në fjalë (0 ≤ θ ≤ π ), dhe
• φ është këndi ndërmjet projeksionit të vektorit në planin xy dhe boshtit pozitiv X (0 ≤ φ < 2 π ).

( r, θ, φ ) jepet në koordinatat karteziane nga:

$${\begin{bmatrix}r\\\theta \\\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\arccos(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})\\\arctan(y/x)\end{bmatrix}},\ \ \ 0\leq \theta \leq \pi ,\ \ \ 0\leq \phi <2\pi ,$$

ose anasjelltas nga:

$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\sin \theta \cos \phi \\r\sin \theta \sin \phi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.$$

Çdo fushë vektoriale mund të shkruhet në terma të vektorëve njësi si:

$$\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {\hat {x}} +A_{y}\mathbf {\hat {y}} +A_{z}\mathbf {\hat {z}} =A_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}$$

Vektorët e njësive sferike lidhen me vektorët njësi kartezian nga:

$${\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}$$

Kështu, vektorët njësi kartezianë janë të lidhur me vektorët sferikë njësi nga:

$${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\cos \theta \cos \phi &-\sin \phi \\\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \sin \phi &\cos \phi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}$$

Derivati kohor i një fushe vektoriale

Për të zbuluar se si ndryshon fusha vektoriale A në kohë, duhet të llogariten derivatet e kohës. Në koordinatat karteziane kjo jepet thjesht si:

$$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}_{z}\mathbf {\hat {z}}$$

Sidoqoftë, në koordinatat sferike kjo merr trajtën:

$$\mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}$$

Nevojiten derivatet kohore të vektorëve njësi. Ato jepen nga:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}&={\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}&=-{\dot {\theta }}{\boldsymbol {\hat {r}}}+{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=-{\dot {\phi }}\sin \theta {\boldsymbol {\hat {r}}}-{\dot {\phi }}\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\end{aligned}}$$

Kështu derivati sipas kohës shkruhet:

$$\mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}\left({\dot {A}}_{r}-A_{\theta }{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\left({\dot {A}}_{\theta }+A_{r}{\dot {\theta }}-A_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\left({\dot {A}}_{\phi }+A_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A_{\theta }{\dot {\phi }}\cos \theta \right)$$