Interpolimi

Në fushën e analizës numerike, interpolimi është një lloj vlerësimi, një metodë për të ndërtuar (gjetur) pika të reja të dhënash bazuar në shtrirjen e një bashkësie diskrete të pikave të njohura. ^[1]

Në inxhinieri dhe shkencë, shpesh ka një numër pikash të dhënash, të marra nga kampionimi ose eksperimenti, të cilat përfaqësojnë vlerat e një funksioni për një numër të kufizuar vlerash të ndryshores së pavarur . Shpesh kërkohet të interpolohet ; domethënë, të vlerësohet vlera e atij funksioni për një vlerë të ndërmjetme të ndryshores së pavarur.

Një problem i lidhur ngushtësisht është përafrimi i një funksioni të ndërlikuar me anë të një funksioni të thjeshtë. Supozoni se formula e një funksioni të caktuar është e njohur, por shumë e ndërlikuar për t'u vlerësuar në mënyrë efikase. Disa pika të dhënash nga funksioni origjinal mund të interpolohen për të prodhuar një funksion më të thjeshtë i cili është ende mjaft afër origjinalit (në brendësinë e një segmenti). Thjeshtimi i funksionit mund të jetë i dëshirueshëm edhe me humbje nga gabimi i interpolimit dhe të japë performancë më të mirë në procesin e llogaritjes.

Shembull

Kjo tabelë jep disa vlera të një funksioni të panjohur $f(x)$ .

Grafi i pikave të të dhënave siç jepet në tabelë

$x$	$f(x)$
0	0
1	0	.	8415
2	0	.	9093
3	0	.	1411
4	− 0	.	7568
5	− 0	.	9589
6	− 0	.	2794

Interpolimi siguron një mjet për të vlerësuar funksionin në pikat e ndërmjetme, si p.sh $x=2.5.$

Ne përshkruajmë disa metoda të interpolimit, të cilat ndryshojnë sipas vetive të tilla si: saktësia, shpenzimi, numri i pikave të të dhënave të nevojshme dhe lëmimi i funksionit interpolant.

Interpolimi konstant pjesë-pjesë

Interpolimi konstant pjesë-pjesë, ose interpolimi i fqinjit më të afërt

Metoda më e thjeshtë e interpolimit është të gjesh vlerën më të afërt të të dhënave dhe të caktosh të njëjtën vlerë në një segment rrethues. Në problemet e thjeshta, kjo metodë nuk ka gjasa të përdoret, pasi interpolimi linear (shih më poshtë) është pothuajse po aq i lehtë, por në interpolimin me shumë ndryshore në dimensione më të larta, kjo mund të jetë një zgjedhje e favorshme për shpejtësinë dhe thjeshtësinë e saj.

Interpolimi linear

Grafi i të dhënave me interpolim linear të mbivendosur

Një nga metodat më të thjeshta është interpolimi linear (ndonjëherë i njohur si lerp). Merrni parasysh shembullin e mësipërm të vlerësimit të f (2.5). Meqenëse 2.5 është në mes midis 2 dhe 3, është e arsyeshme të marrim f (2.5) si vlerë të mesme të f (2) = 0.9093 dhe f (3) = 0.1411, që jep 0.5252.

Përgjithësisht, interpolimi linear merr dy pika të dhënash, le të themi ( x _a, y _a ) dhe ( x _b, y _b ), dhe funksioni interpolues jepet nga:

y=y_{a}+\left(y_{b}-y_{a}\right){\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}{\text{ tek pika }}\left(x,y\right)

{\frac {y-y_{a}}{y_{b}-y_{a}}}={\frac {x-x_{a}}{x_{b}-x_{a}}}

{\frac {y-y_{a}}{x-x_{a}}}={\frac {y_{b}-y_{a}}{x_{b}-x_{a}}}

Ekuacioni i mëparshëm thotë se pjerrësia e vijës së re ndërmjet $(x_{a},y_{a})$ dhe $(x,y)$ është e njëjtë me pjerrësinë e vijës ndërmjet $(x_{a},y_{a})$ dhe $(x_{b},y_{b})$

Interpolimi linear është i shpejtë dhe i lehtë, por nuk është shumë i saktë. Një tjetër disavantazh është se interpolanti nuk është i diferencueshëm në pikën x _k .

Interpolimi polinomial

Grafiku i të dhënave me interpolim polinomial

Interpolimi polinomial është një përgjithësim i interpolimit linear. Vini re se interpolanti linear është një funksion linear . Tani e zëvendësojmë këtë interpolant me një polinom të shkallës më të lartë.

Konsideroni përsëri problemin e dhënë më lart. Polinomi vijues i shkallës së gjashtë kalon nëpër të shtatë pikat:

f(x)=-0.0001521x^{6}-0.003130x^{5}+0.07321x^{4}-0.3577x^{3}+0.2255x^{2}+0.9038x.

Duke zëvendësuar x = 2,5, gjejmë se f (2,5) = ~ 0,59678.

Në përgjithësi, nëse kemi n pika të dhënash, ekziston saktësisht një polinom i shkallës e shumta n − 1 që kalon nëpër të gjitha pikat e të dhënave. Gabimi i interpolimit është i përpjesshëm me largësinë ndërmjet pikave të të dhënave në fuqinë n . Për më tepër, interpolanti është një polinom dhe kështu pafundësisht i diferencueshëm. Pra, shohim se interpolimi polinomial tejkalon shumicën e problemeve të interpolimit linear.

Megjithatë, interpolimi polinomial ka gjithashtu disa mangësi. Llogaritja e polinomit interpolues është e kushtueshme (shih kompleksitetin llogaritës ) në krahasim me interpolimin linear. Për më tepër, interpolimi polinomial mund të shfaqë lëkundje, veçanërisht në pikat fundore (shih dukuria e Runge ).

Interpolimi polinomial mund të vlerësojë maksimumet dhe minimumet lokale që janë jashtë shtrirjes së kampioneve (pikave të të dhënave), ndryshe nga interpolimi linear. Për shembull, interpolanti i mësipërm ka një maksimum lokal në x ≈ 1,566, f ( x ) ≈ 1,003 dhe një minimum lokal në x ≈ 4,708, f ( x ) ≈ −1,003. Megjithatë, këto maksimum dhe minimum mund të tejkalojnë shtrirjen teorike të funksionit; për shembull, një funksion që është gjithmonë pozitiv mund të ketë një interpolant me vlera negative, dhe anasjellta e të cilit përmban asimptota vertikale false.

Në përgjithësi, forma e kurbës, veçanërisht për vlera shumë të larta ose të ulëta të ndryshores së pavarur, mund të jetë në kundërshtim me sensin e zakonshëm; domethënë për atë që dihet lidhur me sistemin eksperimental i cili ka gjeneruar pikat e të dhënave. Këto mangësi mund të zvogëlohen duke përdorur interpolimin spline ose duke kufizuar vëmendjen në polinomet e Çebishevit .

Interpolimi spline

Grafi i të dhënave me interpolim spline të aplikuar

Kujtoni se interpolimi linear përdor një funksion linear për secilin prej intervaleve [ x _k, x _k+1 ]. Interpolimi spline përdor polinome të shkallës së ulët në secilin prej intervaleve dhe zgjedh pjesët e polinomit në mënyrë që ato të përshtaten mirë së bashku. Funksioni që rezulton quhet spline.

Për shembull, splajni kubik natyral është pjesë- pjesë kubik dhe dy herë i diferencueshëm. Për më tepër, derivati i dytë i tij është zero në pikat fundore. Splajni kubik natyror që interpolon pikat në tabelën e mësipërme është dhënë nga

f(x)={\begin{cases}-0.1522x^{3}+0.9937x,&{\text{if }}x\in [0,1],\\-0.01258x^{3}-0.4189x^{2}+1.4126x-0.1396,&{\text{if }}x\in [1,2],\\0.1403x^{3}-1.3359x^{2}+3.2467x-1.3623,&{\text{if }}x\in [2,3],\\0.1579x^{3}-1.4945x^{2}+3.7225x-1.8381,&{\text{if }}x\in [3,4],\\0.05375x^{3}-0.2450x^{2}-1.2756x+4.8259,&{\text{if }}x\in [4,5],\\-0.1871x^{3}+3.3673x^{2}-19.3370x+34.9282,&{\text{if }}x\in [5,6].\end{cases}}

Në këtë rast marrim f (2.5) = 0,5972.

Ashtu si interpolimi polinomial, interpolimi spline sjell një gabim më të vogël se interpolimi linear, ndërsa interpolanti është më i lëmuar dhe më i lehtë për t'u vlerësuar sesa polinomet e shkallës së lartë të përdorur në interpolimin polinomial. Megjithatë, natyra globale e funksioneve bazë çon në kushte jo të mira. Kjo zbutet plotësisht duke përdorur splina të mbështetjes kompakte, siç janë zbatuar në Boost. Math dhe diskutuar në Kress. ^[2]

Forma të tjera

Forma të tjera interpolimi mund të ndërtohen duke zgjedhur një klasë të ndryshme interpolantësh. Për shembull, interpolimi racional është interpolim me funksione racionale duke përdorur përafruesin Padé, dhe interpolimi trigonometrik është interpolimi me polinome trigonometrike duke përdorur seritë Furje . Një mundësi tjetër është përdorimi i valëzave .

Formula e interpolimit Whittaker–Shannon mund të përdoret nëse numri i pikave të të dhënave është i pafundëm ose nëse funksioni që do të interpolohet ka përcaktim kompakt.

Ndonjëherë, ne dimë jo vetëm vlerën e funksionit që duam të interpolojmë, në disa pika, por edhe derivatin e tij. Kjo çon në probleme të interpolimit të Hermitit .

Në përmasa më të larta

Interpolimi me shumë ndryshore është interpolimi i funksioneve të më shumë se një ndryshoreje. Metodat përfshijnë interpolimin bilinear dhe interpolimin bikubik në dy dimensione dhe interpolimin trilinear në tre dimensione. Ato mund të aplikohen në të dhëna të rrjetëzuara ose të shpërndara. Interpolimi mimetik përgjithësohet në $n$ hapësira dimensionale ku $n>3$ . ^[3] ^[4]

Fqinji më i afërt
Bilineare
Bikubik

Referime

^ Steffensen, J. F. (2006). Interpolation (bot. Second). Mineola, N.Y. ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC 867770894. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Mungon shtëpia botuese te vendodhja (lidhja)
^ Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis. ISBN 9781461205999. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Whitney, Hassler (1957). Geometric Integration Theory. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486445830. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Pletzer, Alexander; Fillmore, David (2015). "Conservative interpolation of edge and face data on n dimensional structured grids using differential forms". Journal of Computational Physics. 302: 21–40. Bibcode:2015JCoPh.302...21P. doi:10.1016/j.jcp.2015.08.029 – nëpërmjet ScienceDirect. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1] Steffensen, J. F. (2006). Interpolation (bot. Second). Mineola, N.Y. ISBN 978-0-486-15483-1. OCLC 867770894. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Mungon shtëpia botuese te vendodhja (lidhja)

[2] Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis. ISBN 9781461205999. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Whitney, Hassler (1957). Geometric Integration Theory. Dover Books on Mathematics. ISBN 978-0486445830. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[4] Pletzer, Alexander; Fillmore, David (2015). "Conservative interpolation of edge and face data on n dimensional structured grids using differential forms". Journal of Computational Physics. 302: 21–40. Bibcode:2015JCoPh.302...21P. doi:10.1016/j.jcp.2015.08.029 – nëpërmjet ScienceDirect. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]

[3]

[4]