Matrica katrore

Në matematikë, një matricë katrore është një matricë me të njëjtin numër rreshtash dhe kolonash. Një matricë n -nga- n njihet si matricë katrore e rendit $n$. Çdo dy matrica katrore të të njëjtit rend mund të shtohen dhe shumëzohen.

Një matricë katrore e rendit 4. Hyrjet $a_{ii}$ formojnë diagonalen kryesore të një matrice katrore. Për shembull, diagonalja kryesore e matricës 4×4 më sipër përmban elementet a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10 .

Matricat katrore përdoren shpesh për të përfaqësuar transformime të thjeshta lineare, të tilla si krasitja ose rrotullimi . Për shembull, nëse $R$ është një matricë katrore që përfaqëson një rrotullim ( matricë rrotullimi ) dhe $\mathbf {v}$ është një vektor kolone që përshkruan pozicionin e një pike në hapësirë, prodhimi $R\mathbf {v}$ jep një vektor tjetër kolone që përshkruan pozicionin e asaj pike pas atij rrotullimi. Nëse $\mathbf {v}$ është një vektor rreshti, i njëjti transformim mund të merret duke përdorur $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$, ku $R^{\mathsf {T}}$ është transpozimi i $R$.

Matrica e kthyeshme dhe anasjellta e saj

Një matricë katrore $A$ quhet e invertueshme ose josingulare nëse ekziston një matricë $B$ e tillë që $$AB=BA=I_{n}.$$ Nëse $B$ ekziston, është unike dhe quhet matricë e anasjelltë e $A$, shënohet $A^{-1}$.

Matrica e përcaktuar

Pozitivisht e përcaktuar	E papërcaktuar
${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q ( x, y ) = 1/4 x 2 + y 2	Q ( x, y ) = 1/4 x 2 - 1/4 y 2
Pika të tilla që Q ( x, y ) = 1 ( Elipsa ).	Pika të tilla që Q ( x, y ) = 1 ( Hiperbola ).

Një matricë simetrike n × n quhet pozitivisht e përcaktuar (përkatësisht negative-përcaktuar; e pacaktuar), nëse për të gjithë vektorët jozero $x\in \mathbb {R} ^{n}$ forma e lidhur kuadratike e dhënë nga $$Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x}$$ merr vetëm vlera pozitive (përkatësisht vetëm vlera negative; edhe disa vlera negative edhe disa pozitive). Nëse forma kuadratike merr vetëm vlera jo negative (përkatësisht vetëm jo pozitive), matrica simetrike quhet pozitive-gjysmëcaktuar (përkatësisht negative-gjysmëpërcaktuar); pra matrica është e pacaktuar pikërisht kur nuk është as pozitive-gjysmëpërcaktuar as negative-gjysmëpërcaktuar.

Matrica ortogonale

Një matricë ortogonale është një matricë katrore me hyrje reale, kolonat dhe rreshtat e së cilës janë vektorë njësi ortogonale (dmth. vektorë ortonormalë ). Në mënyrë ekuivalente, një matricë A është ortogonale nëse transpozimi i saj është i barabartë me inversin e saj: $$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$$ që nënkupton $$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$$ ku unë jam matrica e identitetit .

Eigenvlerat dhe eigenvektorët

Një numër λ dhe një vektor jozero $\mathbf {v}$ që kënaqin barazimin $$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$$ quhen eigenvlera dhe eigenvektorë të $A$, respektivisht. Numri λ është një vlerë vetjake e një matrice n×n A nëse dhe vetëm nëse A − λI_n nuk është i kthyeshëm, që është e njëvlerëshme me $$\det(A-\lambda I)=0.$$ Polinomi p_A në një X të papërcaktuar i dhënë me vlerësimin e përcaktorit det(XI_n − A) quhet polinomi karakteristik i A . Është një polinom monik i shkallës n . Prandaj ekuacioni polinomial p_A(λ) = 0 ka më së shumti n zgjidhje të ndryshme, dmth. eigenvlera të matricës. Ato mund të jenë komplekse edhe nëse hyrjet e A janë reale. Sipas teoremës Cayley–Hamilton, p_A(A) = 0, domethënë, rezultati i zëvendësimit të matricës në polinomin e vet karakteristik jep matricën zero .