Mesatarja gjeometrike

Në matematikë, mesatarja gjeometrike është një mesatare që tregon një prirje qendrore të një bashkësie të fundme numrash realë duke përdorur shumëzimin e tyre (në krahasim me mesataren aritmetike që përdor shumën e tyre). Mesatarja gjeometrike përcaktohet si rrënja me indeks <i>n</i> e shumëzimit të n numrave, dmth, për një grup numrash $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, mesatarja gjeometrike përcaktohet si

Shembull i mesatares gjeometrike: $l_{g}$ (e kuqe) është mesatarja gjeometrike e $l_{1}$ dhe $l_{2}$, në një shembull në të cilin segmenti i vijës $l_{2}\;({\overline {BC}})$ jepet si pingul me ${\overline {AB}}$ (shënoni pushim 10 s ndërmjet çdo ekzekutimi të animacionit).

$\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}$

ose, në mënyrë të njëvlershme, si mesatarja aritmetike në shkallë logaritmike :

$e^{\left({{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\ln a_{i}}\right)}$

Më së shpeshti numrat kufizohen në të qënit jo-negativë, për të shmangur ndërlikimet që lidhen me numrat negativë, të cilët nuk kanë rrënjë reale, dhe shpesh ato kufizohen në të qënit pozitiv, për të mundësuar përdorimin e logaritmeve.

Për shembull, mesatarja gjeometrike e dy numrave, le të themi 2 dhe 8, është vetëm rrënja katrore e shumëzimit të tyre, domethënë, ${\sqrt {2\cdot 8}}=4$ . Si shembull tjetër, mesatarja gjeometrike e tre numrave 4, 1 dhe 1/32 është rrënja kubike e shumëzimit të tyre (1/8), e cila është 1/2, domethënë, ${\sqrt[{3}]{4\cdot 1\cdot 1/32}}=1/2$ .

Mesatarja gjeometrike mund të kuptohet në termat e gjeometrisë . Mesatarja gjeometrike e dy numrave, $a$ dhe $b$, është gjatësia e njërës anë të një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me sipërfaqen e një drejtkëndëshi me brinjë të gjatësisë $a$ dhe $b$ . Në mënyrë të ngjashme, mesatarja gjeometrike e tre numrave, $a$, $b$, dhe $c$, është gjatësia e një skaji të një kubi, vëllimi i të cilit është i njëjtë me atë të një kuboidi me brinjë, gjatësia e të cilave është e barabartë me tre numrat e dhënë.

Llogaritja

Mesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$ jepet nga:

$\left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.$

Krahasimi me mesataren aritmetike

Stampa:AM GM inequality visual proof.svgStampa:QM AM GM HM inequality visual proof.svgMesatarja gjeometrike e një grupi të dhënash jo bosh numrash (pozitiv) është gjithmonë e shumta e barabartë me mesataren e tyre aritmetike. Barazia merret vetëm kur të gjithë numrat në bashkësinë e të dhënave janë të barabartë; përndryshe, mesatarja gjeometrike është më e vogël. Për shembull, mesatarja gjeometrike e 2 dhe 3 është 2,45, ndërsa mesatarja aritmetike e tyre është 2,5. Në veçanti, kjo do të thotë se kur një grup numrash jo identikë i nënshtrohet një përhapjeje të ruajtjes së mesatares - domethënë, elementët e grupit "ndahen" më shumë nga njëri-tjetri duke lënë mesataren aritmetike të pandryshuar - mesatarja e tyre gjeometrike zvogëlohet.

Shëmbuj

Shembuj të mesatares gjeometrike të shënuar me ${\text{இ}}(A)$ për një bashkësi numrash A.

Për shëmbull, jepen numrat $x_{1}=5,x_{2}=20$, atëherë mesatarja e tyre gjeometrike është:

${\text{இ}}={\sqrt {x1*x2}}={\sqrt {5*20}}={\sqrt {100}}=10$

Për tre numra të bashkësisë A, $A=\{3,5,9\}$, mesatarja gjeometrike është rrënja me indeks 3 (sepse aq numra ka bashkësia) e prodhimit të tyre.

${\text{இ}}(A)={\sqrt[{3}]{3*5*9}}={\sqrt[{3}]{135}}$

Nga ku marrim:

${\sqrt[{3}]{135}}\approx 5.082$

Mesatarja gjeometrike e një funksioni të vazhdueshëm

Nëse $f:[a,b]\to (0,\infty )$ është një funksion pozitiv i vazhdueshëm me vlerë reale, mesatarja e tij gjeometrike mbi këtë interval është

${\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)$