Nxitimi këndor

 Në fizikë, nxitimi këndor (simboli α, alfa ) është shkalla kohore e ndryshimit të shpejtësisë këndore . Pas dy llojeve të shpejtësisë këndore, shpejtësia këndore e rrotullimit dhe shpejtësia këndore orbitale, llojet përkatëse të nxitimit këndor janë: nxitimi këndor rrotullues, që përfshin një trup të ngurtë rreth një boshti rrotullimi që kryqëzon qendrën e trupit; dhe nxitimi këndor orbital, që përfshin një pikë materiale dhe një bosht të jashtëm.

Nxitimi këndor ka dimensione fizike të këndit për kohë në katror, të matur në njësi SI të radianeve për sekondë në katror ( rad ⋅ s ^-2 ). Në dy dimensione, nxitimi këndor është një pseudoskalar, shenja e të cilit merret si pozitive nëse shpejtësia këndore rritet në të kundërt ose zvogëlohet në drejtim të akrepave të orës, dhe merret si negative nëse shpejtësia këndore rritet ose zvogëlohet në drejtim të kundërt. Në tre dimensione, nxitimi këndor është një pseudovektor .

Për trupat e ngurtë, nxitimi këndor duhet të shkaktohet nga një çift rrotullues i jashtëm neto. Megjithatë, kjo nuk është kështu për trupat jo të ngurtë: Për shembull, një patinator mund të përshpejtojë rrotullimin e tij (duke marrë kështu një nxitim këndor) thjesht duke kontraktuar krahët dhe këmbët nga brenda, gjë që nuk përfshin asnjë çift rrotullues të jashtëm .

Nxitimi këndor orbital i një pike materiale

Pika në dy dimensione

Në dy dimensione, nxitimi këndor orbital është shpejtësia me të cilën ndryshon shpejtësia këndore orbitale dydimensionale e grimcës rreth origjinës. Shpejtësia këndore e çastit $\omega$ në çdo moment të kohës jepet nga

$\omega ={\frac {v_{\perp }}{r}},$

ku $r$ është largësia nga origjina dhe $v_{\perp }$ është përbërësja kryqe rrezore e shpejtësisë së çastit (dmth përbërësja pingule me vektorin e vendndodhjes), i cili sipas konvencionit është pozitiv për lëvizjen në drejtim të kundërt dhe negativ për lëvizjen në drejtim të akrepave të orës.

Prandaj, nxitimi këndor i çastit α i grimcës jepet nga

$\alpha ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {v_{\perp }}{r}}\right).$

Zgjerimi i anës së djathtë duke përdorur rregullin e produktit nga llogaritja diferenciale, kjo bëhet

$\alpha ={\frac {1}{r}}{\frac {dv_{\perp }}{dt}}-{\frac {v_{\perp }}{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}.$

Në rastin e veçantë kur grimca pëson lëvizje rrethore rreth origjinës, ${\frac {dv_{\perp }}{dt}}$ bëhet vetëm nxitimi tangjencial $a_{\perp }$, dhe ${\frac {dr}{dt}}$ zhduket (pasi largësia nga origjina qëndron konstante), kështu që ekuacioni i mësipërm thjeshtohet

$\alpha ={\frac {a_{\perp }}{r}}.$

Pika materiale në tre dimensione

Në tre dimensione, nxitimi këndor orbital është shpejtësia në të cilën vektori i shpejtësisë këndore orbitale tredimensionale ndryshon me kalimin e kohës. Vektori i shpejtësisë këndore të çastit ${\boldsymbol {\omega }}$ në çdo moment në kohë jepet nga

${\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}},$

ku $\mathbf {r}$ është vektori i pozicionit të grimcave, $r$ largësia e saj nga origjina, dhe $\mathbf {v}$ vektori i shpejtësisë së tij.

Prandaj, nxitimi këndor orbital është vektori ${\boldsymbol {\alpha }}$ i përcaktuar nga

${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}\right).$

Duke e zgjeruar këtë derivat duke përdorur rregullin e prodhimit për prodhimet e kryqëzuara dhe rregullin e herësit të zakonshëm, merret:

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\alpha }}&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}+{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {1}{r^{2}}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {a} +\mathbf {v} \times \mathbf {v} \right)-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\\\\&={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {dr}{dt}}\left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right).\end{aligned}}$

Meqënëse $\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ është thjesht $r^{2}{\boldsymbol {\omega }}$, termi i dytë mund të rishkruhet si $-{\frac {2}{r}}{\frac {dr}{dt}}{\boldsymbol {\omega }}$ . Në rastin kur largësia $r$ e grimcës nga origjina nuk ndryshon me kalimin e kohës (e cila përfshin lëvizjen rrethore si nënrast), termi i dytë zhduket dhe formula e mësipërme thjeshtohet në

${\boldsymbol {\alpha }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {a} }{r^{2}}}.$

Nga ekuacioni i mësipërm, mund të rikuperohet nxitimi kryq rrezor në këtë rast të veçantë si:

$\mathbf {a} _{\perp }={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} .$