Shpejtësia këndore

Në fizikë, shpejtësia këndore është një madhësi vektoriale (më saktësisht, një pseudovektor) e cila përcakton shpejtësinë këndore të një objekti përgjatë aksit në të cilin objekti është në rotullim. Në sistemin e njësive SI njësia e shpejtësisë këndore është radian per sekondë, edhe pse kjo mund të jetë e matur në njësi të tjera të tilla si gradë për sekondë, rrotullime për sekondë, gradë për orë, etj. Kur matet në njësi ciklesh apo rotullime për Orë (p.sh rrotullime për minutë), zakonisht ajo është quajtur shpesh, shpejtësisa rrotulluese dhe madhësia e saj moduli i shpejtësise kendore. Shpejtesi këndore përfaqësohet zakonisht nga simboli omega (Ω ose ω). Drejtimi i vektorit të shpejtësisë këndore është pingul me planin e rrotullimit, në një drejtim që është specifikuar zakonisht nga rregulli i dorës së djathtë.^[1]

Shpejtësia këndore e një thërrmije

Në dy përmasa

Shpejtësia këndore e nje therrmije tek P në lidhje me origjinën O është e përcaktuar nga komponenti pingul i vektorit të shpejtesise v.

Shpejtësia këndore e nje thërrmije në një plan 2-dimensional është e lehtë për tu kuptuar. Siç tregohet në figurën më të djathtë (zakonisht i shprehim përmasat kendore φ dhe θ në radian ), në qoftë se ne heqim një vijë nga origjina (O) për tek thërmija (P ), atëhere vektori i shpejtësisë (v) i thërrmijës do të ketë një komponent përgjatë rrezes (Komponenti rrezor, v_∥) dhe një komponent perpendikular me rrezen (komponent rrezor-kryq , v_{$_{\perp }$}). Megjithatë, duhet të mbahet mend se vektorit te shpejtesise mund të dekompozohet edhe në komponente tangencialë dhe normalë.

Lëvizja rrezore nuk prodhon asnjë ndryshim në distancë të grimcës në lidhje me origjinën, kështu që për të gjetur shpejtesinë këndore komponenti paralel (rrezor) mund të injorohet. Prandaj, rotacioni është prodhuar tërësisht nga lëvizja tangenciale (si ajo e nje thërrmije që lëviz përgjatë një perimetri), dhe shpejtësia këndore është e caktuar plotësisht nga komponenti tangjencial (pingul).

Kjo mund të shihet se shkalla e ndryshimit të pozitës kendore e thërrmije ka të bëjë me ndër-shpejtesinë radiale nga: :^[1]

\mathrm {v} _{\perp }=r\,{\frac {d\phi }{dt}}

Duke perdorur θ, këndi ndërmjet vektoret v_∥ dhe v, ose në mënyrë ekuivalente si kendin midis vektorëve r dhe v, jepet nga:

\mathrm {v} _{\perp }=|\mathrm {\mathbf {v} } |\,\sin(\theta ).

Po të kombinojmë dy ekuacionet e më sipërme dhe përcaktimin shpejtësise kendore si ω = dΦ/dt marrim:

\omega ={\frac {|\mathrm {\mathbf {v} } |\sin(\theta )}{|\mathrm {\mathbf {r} } |}}.

Në dy dimensione shpejtësia kendore është një numër i vetëm që nuk ka asnjë drejtim. Një numër i vetëm i cili nuk ka drejtim është ose një skalar ose një pseudoskalar, ndryshimi është se një skalar nuk ndryshon shenjën e tij, kur boshtet x dhe y shkëmbehen (apo rrotullohen), ndërsa një pseudoscalar e ndyshon. Këndi si edhe shpejtesia kendore është një pseudoskalar. Drejtim pozitiv i rrotullimit është marrë, me marrëveshje, të jetë në drejtim drejt boshtit y nga boshti x. Në qoftë se akset janë kthyer në anën tjetër, por kahu i rrotullimit nuk ndryshon, atëherë shenja e kendi të rrotullimit, dhe për këtë arsye e shpejtesise kendore si rrjedhim, do të ndryshojë.

Është e rëndësishme të theksohet se shpejtesise kendore pseudoskalare e nje therrmije varet nga zgjedhja e origjinës.

Në tre përmasa

Në tre dimensione, shpejtesia kendore bëhet pak më e komplikuar. Shpejtësia këndore në këtë rast është menduar në përgjithësi si një vektor, apo më saktë, një pseudovektor. Tani nuk ka vetëm një madhësi, por gjithashtu edhe një drejtim. Moduli është shpejtësia këndore, dhe drejtimin e përshkruan boshti i rrotullimit. Rregulli i dorës së djathtë tregon drejtim pozitiv të pseudovektorit të shpejtësisë këndore, dmth:

Nëse ju përdridhni gishtat e dorës suaj të djathtë në drejtimin e rrotullimit, pra drejtimin i vektorit të shpejtësisë këndore është i treguar me gishtin tuaj të madh.

Ashtu si në rastin e dy dimensioneve, një thërrmije do të ketë një komponent të shpejtesisë së saj përgjatë rrezes prej origjinës tek thërrmija, dhe një komponent tjetër pingul me atë të rrezes. Kombinim i pikës së origjinës dhe komponentit pingul të shpejtësisë përcakton një plan rotullimi në të cilën sjellja e thërrmijës (për atë çast) duket ashtu si në rastin dy dimensional. Boshti i rrotullimit është pastaj një linjë normale në këtë plan, dhe ky bosht përcakton drejtimin e pseudovektorit të shpejtësisë kendore, ndërsa madhësia është e njëjtë me vlerën e pseudoskalar të gjetur në rast 2-dimensional. Le të përcaktojmë një një njësi vektoriale ${\hat {n}}$ që drejtohet në drejtim të pseudovektor të shpejtësise këndore. Shpejtësia këndore mund të jetë e shkruar në një mënyrë të ngjashme me atë për rastin dy dimensional:

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {|\mathrm {\mathbf {v} } |\sin(\theta )}{|\mathrm {\mathbf {r} } |}}\,{\hat {n}}

cila, nga përkufizimi i produktit kryq, mund të shkruhet:

{\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{|\mathrm {\mathbf {r} } |^{2}}}

Kënde reference në lëvizje

Artikulli kryesor: Tensori i shpejtësisë këndore

Teorema e rrotullimit e Ojlerit pohon që, në një çast, për çdo dt gjithmonë ekziston një aks rrotullimi i çastit. Prandaj, çdo seksion i tërthortë i trupit me një plan pingul në këtë aks duhet të sillet si një rrotullim dy dimensional. Vektori i shpejtësisë këndore do të përcaktohet mbi boshtin e rrotullimit (ajgenvektorin e hartës lineare), dhe si vlera e tij është derivati i këndi ndërruar në lidhje me kohën.

\omega ={\frac {d\theta }{dt}}

Dimensione më të larta

Në përgjithësi, shpejtësia këndore në një hapësirë n-dimensionale është derivati kohor i tensori të zhvendosjes këndore e cila është një tensor i anuar-simetrike i rendit të dytë . Ky tensor do të ketë n(n-1)/2 komponentë të pavarur dhe ky numër është dimensioni i algjebrës Lie të grupit Lie të rotullimit te një hapësire të produktit të brëndshëm n- dimensional.^[2] Nga kjo rezulton se në hapësirën tre dimensionale shpejtësia këndore mund të përfaqësohet nga një vektor për shkak se numri i komponentëve të pavarur është i barabartë me numrin e dimensioneve të hapësirës.

Shpejtësia këndore e trupit të ngurtë

Pozicioni e një pike P të vendosur në trupin e ngurtë (treguar me blu). R'_i është pozicioni në lidhje me këndin e referencës së laboratorit, të përqendruar në O dhe r_i është pozicioni në lidhje me këndin e referncës së trupit të ngurtë, të përqendruar në O. Origjina e këndit të trupit të ngurtë jepet nga vektori i pozicionit R nga këndi i referencës së laboratorit.

Në mënyrë që të trajtojmë rastin e një trupi të ngurtë, është më mirë të marrim në shqyrtim një sistem kordinativ që është i fiksuar në lidhje me trupin e ngurtë, dhe të studiojme transformimet koordinative midis kësaj koordinate dhe koordinatave fikse të "Sistemi të laboratorit" . Siç tregohet në figurën më të djathtë, origjina e sistemit të laboratorit është në pikën O , origjina e trupit të ngurtë është në O' dhe distanca nga "O" tek "O" është vektori R'. Një thërrmijë (i) në një trup të ngurtë është vendosur në pikën P dhe vektori i pozicionit i kësaj grimce është R_i në këndin e referencës së laboratorit, dh tek pozicioni r_i në këndin e referencës së trupit të ngurtë. Shihet se pozita e grimcë mund të shkruhet si:

\mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +\mathbf {r} _{i}

Karakteristika kryesore e një trupi të ngurtë është se distanca në mes çdo dy pikave të një trupi të ngurtë është e pandryshueshme në kohë. Kjo do të thotë se gjatesia e vektorit $\mathbf {r} _{i}$ është e pandryshueshme. Nga Teorema e rrotullimi e Ojlerit, ne mund të zëvendësojmë vektorin $\mathbf {r} _{i}$ with ${\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}$ ku ${\mathcal {R}}$ është një matricë e rrotullimit dhe $\mathbf {r} _{io}$ është pozicioni i thërrmijës në një pikë të caktuar në kohë, le te themi t = 0. Ky zëvendësim është i dobishm, sepse tani ajo është vetëm matrica rrotullimit ${\mathcal {R}}$ që po ndryshon në kohë dhe jo vektori i referimit $\mathbf {r} _{io}$ , pergjate kohes qe trup i ngurtë rotullohet rreth pikës O'. Pozicioni i thermijes tani shkruhet si:

\mathbf {R} _{i}=\mathbf {R} +{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}

Po te marrim derivatin kohor marrim shpejtesine e therrmijes:

\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}\mathbf {r} _{io}

ku V_i është shpejtësia e therrmijes (në kuadrin laborator) dhe V është shpejtësia e O'(origjina e trupit të ngurtë kuadër ). Meqënese ${\mathcal {R}}$ është një matricë rrotullimit inversi i saj është transpozimi i saj. Pra, ne zëvendësojme

${\mathcal {I}}={\mathcal {R}}^{T}{\mathcal {R}}$ :

\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {I}}\mathbf {r} _{io}

\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}{\mathcal {R}}\mathbf {r} _{io}

\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}\mathbf {r} _{i}

Tani vazhdojme duke marre derivatin kohor te ${\mathcal {R}}{\mathcal {R}}^{T}$ :

{\mathcal {I}}={\mathcal {R}}{\mathcal {R}}^{T}

0={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}+{\mathcal {R}}{\frac {d{\mathcal {R}}^{T}}{dt}}

Ketu aplikojme formulen (AB)^T = B^TA^T:

0={\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}+\left({\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}\right)^{T}

${\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}$ është negativja e transpozimit e saj. Prandaj ai është një matricë simetrike e anuar 3x3. Prandaj ne mund të dualen e saj për të marrë një vektor 3 dimensional. ${\frac {d{\mathcal {R}}}{dt}}{\mathcal {R}}^{T}$ quhet tensori i shpejtësië këndore. Nëse marrim dualen e këtij tensori, shumëzimi i matricës është zëvendësuar nga produkt vektorial. Dualja e sajequhet pseudovektor i shpejtesise kendore, ω.

{\boldsymbol {\omega }}=[\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z}]

Zëvendësuar ω në shprehjen e shpejtësise se mësipërme:

\mathbf {V} _{i}=\mathbf {V} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{i}.

Kjo mund të shihet se shpejtesia e një pike në një trup te ngurtë mund të ndahet në dy komponenete- shpejtesia e nje pike referimi fikse në trupin e ngurtë plus termi i produktit vektorial që përfshin shpejtesine kendore te nje therrmije ne lidhje me nje pikë referimi . Kjo shpejtësi këndore është shpejtësia këndore e "spinit" e trupit të ngurtë në krahasim me shpejtesia kendore pikes se referimi O' rreth origjinës O.

Kjo është një 'pikë e rëndësishme' që spini i shpejtesise kendore e çdo grimcë të trupit të ngurtë është i njëjtë, dhe se spini i shpejtesisea kendore është i pavarur nga zgjedhja e origjinës së sistemit të trupit të ngurtë ose të sistemit laboratorit . Me fjalë të tjera, ajo është një madhesi reale fizike, e cila është një veti e trupit të ngurtë, e pavarur nga zgjedhja e një sistemi koordinativ. Shpejtësia këndore e pikë referimi për origjinën e kendit te references selaboratorit , megjithatë, do varet nga këto zgjedhje të sistemit koordinativ. Shpesh është i përshtatshëm për të zgjedhur qendëren e masës të trupit të ngurtë, si origjinen e sistemit të trupit të ngurtë, cka rezulton ne një thjeshtësim të konsiderueshm matematikor qe ndodh në shprehjen për momentin këndor të trupit të ngurtë.

Nëse pika e referimi është "boshti i menjëhershëm i rrotullimit" shprehja e shpejtësisë së një pike në nje trup të ngurtë do të ketë vetëm termin e shpejtesise kendore. Kjo është për shkak se shpejtësia e çastit e boshti te rrotullimit është zero. Një shembull i menjëhershëm boshti i rrotullimit është boshti rotullues is një dere. Një tjetër shembull është pika e kontaktit për një trupi sferik te ngurtë.

Shikoni gjithashtu

WikiFjalori: Shpejtësia këndore – shfletoni më shumë në fjalorin e lirë

Referime

^ ^a ^b Hibbeler, Russell C. (2009). Engineering Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall. fq. 314, 153. ISBN 9780136077916. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)(EM1)
^ Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of faqen e internetit e John Baez, veçanërisht Pyetjet 1 dhe 2.

Symon, Keith (1971). Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 0-201-07392-7. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
L.D. Landau; Lifshitz, E.M. (1997). Mechanics. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-750-62896-0. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

Lidhje të jashtme

A college text-book of physics By Arthur Lalanne Kimball (Angular Velocity of a particle)

[EM1-1] Hibbeler, Russell C. (2009). Engineering Mechanics. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Prentice Hall. fq. 314, 153. ISBN 9780136077916. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)(EM1)

[baez-2] Rotations and Angular Momentum on the Classical Mechanics page of faqen e internetit e John Baez, veçanërisht Pyetjet 1 dhe 2.

[1]

[2]