Shndërrimi i Cayley

Në matematikë, transformimi Cayley, i quajtur pas Arthur Cayley, është secili nga një kllastër prej gjërash të lidhura. Siç përshkruhet fillimisht nga Cayley (1846), transformimi Cayley është një hartë midis matricave simetrike të anuar dhe matricave speciale ortogonale . Transformimi është një homografi e përdorur në analizën reale, analizën komplekse dhe analizën kuaternionike . Në teorinë e hapësirave të Hilbertit, transformimi Cayley është një hartë midis operatorëve linearë (Nikolski 1988) .

Homografia reale

Një shembull i thjeshtë i një transformimi Cayley mund të bëhet në vijën reale projektive . Transformimi i Cayley këtu do të ndryshojë elementet e {1, 0, −1, ∞} varg. Për shembull, ai harton numrat realë pozitivë në intervalin [−1, 1]. Kështu transformimi Cayley përdoret për të përshtatur polinomet e Lezhandrit për përdorim me funksionet në numrat realë pozitivë me funksionet racionale të Lezhandrit .

Si një homografi e vërtetë, pikat përshkruhen me koordinata projektive, dhe hartëzimi përcaktohet si:

$[y,\ 1]=\left[{\frac {x-1}{x+1}},\ 1\right]\thicksim [x-1,\ x+1]=[x,\ 1]{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}.$

Homografia komplekse

Transformimi Cayley i gjysmë rrafshit kompleks të sipërm në diskun njësi

Në gjysmën e sipërme të planit kompleks, transformimi i Cayley është:

$f(z)={\frac {z-i}{z+i}}.$

Meqënëse $\{\infty ,1,-1\}$ është hartuar në $\{1,-i,i\}$, dhe transformimet e Möbius-it ndryshojnë rrathët e përgjithësuar në planin kompleks, $f$ harton vijën reale në rrethin njësi . Për më tepër, që nga $f$ është një homeomorfizëm dhe $i$ është marrë në 0 nga $f$, gjysma e sipërme e rrafshit vendoset në një hartë në diskun njësi .

Në inxhinierinë elektrike, transformimi Cayley është përdorur për të hartuar një gjysmë rrafshi të reaktancës në grafikun e Smith që përdoret për përputhjen e impedancës së linjave të transmetimit.

Për sa i përket modeleve të gjeometrisë hiperbolike, ky transformim Cayley lidh modelin gjysmë të rrafshit Poincare me modelin e diskut Poincare .

Homografia e kuaternioneve

Në hapësirën katërdimensionale të kuaternioneve $a+b{\vec {i}}+c{\vec {j}}+d{\vec {k}}$, versorët

$u(\theta ,r)=\cos \theta +r\sin \theta$ formojnë 3-sferën njësi .

Meqenëse kuaternionet janë jondërrues, elementët e vijës së saj projektuese kanë koordinata homogjene të shënuara $U[a,b]$ për të treguar se faktori homogjen shumëzohet në të majtë. Transformimi i kuaternionit është

$f(u,q)=U[q,1]{\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}=U[q-u,\ q+u]\sim U[(q+u)^{-1}(q-u),\ 1].$

Homografitë reale dhe komplekse të përshkruara më sipër janë shembuj të homografisë kuaternare ku $\theta$ është zero ose $\pi /2$, respektivisht. Me sa duket transformimi merr $u\to 0\to -1$ dhe merr $-u\to \infty \to 1$ .

Duke vlerësuar këtë homografi në $q=1$ harton versorin $u$ në boshtin e saj:

$f(u,1)=(1+u)^{-1}(1-u)=(1+u)^{*}(1-u)/|1+u|^{2}.$

Por $|1+u|^{2}=(1+u)(1+u^{*})=2+2\cos \theta ,\quad {\text{dhe}}\quad (1+u^{*})(1-u)=-2r\sin \theta .$

Kështu $f(u,1)=-r{\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}=-r\tan {\frac {\theta }{2}}.$

Në këtë formë transformimi Cayley është përshkruar si një parametrizim racional i rrotullimit: Le $t=\tan \phi /2$ në identitetin e numrit kompleks

$e^{-i\varphi }={\frac {1-ti}{1+ti}}$

ku ana e djathtë është transformimi i $ti$ dhe ana e majtë paraqet rrotullimin e rrafshit me $\phi$ radianë negativë.

I anasjellti

Le të jetë $u^{*}=\cos \theta -r\sin \theta =u^{-1}.$ Meqënëse

${\begin{pmatrix}1&1\\-u&u\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}\ \sim \ {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\ ,$

ku ekuivalenca është në grupin linear projektues mbi kuaternionet, e anasjellta e $f(u,1)$ është

$U[p,1]{\begin{pmatrix}1&-u^{*}\\1&u^{*}\end{pmatrix}}\ =\ U[p+1,\ (1-p)u^{*}]\sim U[u(1-p)^{-1}(p+1),\ 1].$

Harta matricore

Midis n × n matricave katrore mbi numrat realë, me I matricën identitare, le të jetë A çdo matricë anore-simetrike (në mënyrë që A ^T = − A ).

Pastaj I+ A është e kthyeshme, dhe transformimi Cayley

$Q=(I-A)(I+A)^{-1}\,\!$

prodhon një matricë ortogonale, Q (në mënyrë të tillë që Q ^T Q = I ). Shumëzimi i matricës në përkufizimin e Q më sipër është ndërrues, kështu që Q mund të përkufizohet në mënyrë alternative si $Q=(I+A)^{-1}(I-A)$ . Në fakt, Q duhet të ketë përcaktor +1, kështu është edhe ortogonale e veçantë.

Anasjelltas, le të jetë Q çdo matricë ortogonale që nuk ka −1 si vlerë vetjake ; atëherë

$A=(I-Q)(I+Q)^{-1}\,\!$

është një matricë anore-simetrike. Kushti në Q përjashton automatikisht matricat me përcaktor -1, por gjithashtu përjashton disa matrica të veçanta ortogonale.

Megjithatë, çdo matricë rrotullimi (ortogonale speciale) Q mund të shkruhet si

$Q={\bigl (}(I-A)(I+A)^{-1}{\bigr )}^{2}$

për disa matricë anore-simetrike A ; përgjithësisht çdo matricë ortogonale Q mund të shkruhet si

$Q=E(I-A)(I+A)^{-1}$

Një formë paksa e ndryshme shihet gjithashtu, që kërkon paraqitje të ndryshme në çdo drejtim,

${\begin{aligned}Q&=(I-A)^{-1}(I+A),\\[5mu]A&=(Q-I)(Q+I)^{-1}.\end{aligned}}$

Hartëzimi mund të shkruhen edhe me rendin e faktorëve të përmbysur; megjithatë, A udhëton gjithmonë me (μ I ± A ) ⁻¹, kështu që rirenditja nuk ndikon në përkufizimin.

Shembuj

Në rastin 2×2, kemi

${\begin{bmatrix}0&\tan {\frac {\theta }{2}}\\-\tan {\frac {\theta }{2}}&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Matrica e rrotullimit 180°, − I, është e përjashtuar, megjithëse është kufiri kur tan ^θ ⁄ ₂ shkon në pafundësi.

Në rastin 3×3, kemi

${\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\frac {1}{K}}{\begin{bmatrix}w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}&2(xy-wz)&2(wy+xz)\\2(xy+wz)&w^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2}&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(wx+yz)&w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{bmatrix}},$

ku K = w ² + x ² + y ² + z ², dhe ku w = 1. Këtë ne e njohim si matricë rrotullimi që i korrespondon kuaternionit

$w+\mathbf {i} x+\mathbf {j} y+\mathbf {k} z\,\!$