Shpërndarja e Dejvisit

Në statistika, shpërndarjet Davis janë një familje e shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit . Është emëruar pas Harold T. Davis (1892–1974), i cili në 1941 propozoi këtë shpërndarje për të modeluar madhësitë e të ardhurave. ( Teoria e Ekonometrisë dhe Analiza e Serive Kohore Ekonomike ). Është një përgjithësim i ligjit të Plankut të rrezatimit nga fizika statistikore .

Shpërndarja Dejvis

Parametrat	$b>0$ shkalla $n>0$forma $\mu >0$ vendndodhja
Mbështetës	$x>\mu$
FDGJ	${\frac {b^{n}{(x-\mu )}^{-1-n}}{\left(e^{\frac {b}{x-\mu }}-1\right)\Gamma (n)\zeta (n)}}$ ku $\Gamma (n)$ është Funksioni Gama dhe $\zeta (n)$ është funksioni zeta i Rimanit.
Vlera e pritur	${\begin{cases}\mu +{\frac {b\zeta (n-1)}{(n-1)\zeta (n)}}&{\text{nëse}}\ n>2\\{\text{Indeterminate}}&{\text{përndryshe}}\ \end{cases}}$
Varianca	${\begin{cases}{\frac {b^{2}\left(-(n-2){\zeta (n-1)}^{2}+(n-1)\zeta (n-2)\zeta (n)\right)}{(n-2){(n-1)}^{2}{\zeta (n)}^{2}}}&{\text{nëse}}\ n>3\\{\text{E papërcaktuar}}&{\text{përndryshe}}\ \end{cases}}$

Përkufizimi

Funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes Dejvis është dhënë nga

$f(x;\mu ,b,n)={\frac {b^{n}{(x-\mu )}^{-1-n}}{\left(e^{\frac {b}{x-\mu }}-1\right)\Gamma (n)\zeta (n)}}$

ku $\Gamma (n)$ është funksioni Gama dhe $\zeta (n)$ është funksioni zeta i Rimanit . Këtu $\mu$, $b$ dhe $n$ janë parametra të shpërndarjes dhe $n$ nuk duhet të jetë një numër i plotë.

Sfondi

Në një përpjekje për të nxjerrë një shprehje që do të përfaqësonte jo vetëm bishtin e sipërm të shpërndarjes së të ardhurave, Dejvisi kërkoi një model të përshtatshëm me vetitë e mëposhtme

• $f(\mu )=0\,$ për disa $\mu >0\,$
• Ekziston një e ardhur modale
• Për $x$ të mëdha, dendësia sillet si një shpërndarje Pareto :

$f(x)\sim A{(x-\mu )}^{-\alpha -1}\,.$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim \mathrm {Davis} (b=1,n=4,\mu =0)\,$, atëherë ${\tfrac {1}{X}}\sim \mathrm {Planck}$ ( Ligji i Plankut )