Shpërndarja e Studentit matricore

Në statistikë, shpërndarja t matricore është përgjithësimi i shpërndarjes së Studentit shumëndryshore nga vektorët tek matricat . ^[1] t -shpërndarja matricë ndan të njëjtën marrëdhënie me shpërndarjen t shumëndryshore që shpërndarja normale matricore ndan me shpërndarjen normale shumëndryshore . Për shembull, shpërndarja t matricore është shpërndarja e përbërë që rezulton nga marrja e zgjedhjeve nga një shpërndarje normale e matricës që ka marrë zgjedhjen e matricës së kovariancës së matricës normale nga një shpërndarje e anasjelltë Wishart . ^[2]

Në një analizë Bayesian të një modeli regresioni linear shumëndryshor të bazuar në shpërndarjen normale të matricës, shpërndarja t matricore është shpërndarja parashikuese e pasme .

E ç'është shpërndarja t matricore?i

Për një shpërndarje t matricore, funksioni i dendësisë së probabilitetit në pikë $\mathbf {X}$ i nje hapësire $n\times p$ është

f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},

ku konstanta e integrimit K jepet nga

K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.

Këtu $\Gamma _{p}$ është funksioni gama shumëndryshor .

Shpërndarja e përgjithësuar

Trajta e përgjithësuar e kësaj shpërndarje jepet sipas:

${\frac {\Gamma _{p}(\alpha +n/2)}{(2\pi /\beta )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}(\alpha )}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-(\alpha +n/2)}$

ku :

$M$ - vendndodhja- një matricë reale $n\times p$
$\Omega$ - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht $p\times p$
$\Sigma$ - shkalla - një matricë e përcaktuar pozitivisht $n\times n$
$\alpha >{\frac {p-1}{2}}$ parametri i formës
$\beta >0$ parametri i shkallës

Matrica e përgjithësuar t - shpërndarja është një përgjithësim i matricës t - shpërndarjes me dy parametra α dhe β në vend të ν . ^[3]

Kjo zvogëlohet në shpërndarjen t matricore me $\beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.$

Vetitë

Nëse $\mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$ atëherë

\mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).

Vetia e mësipërme vjen nga teorema e Silvesterit për përcaktorët :

\det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=

\det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).

Nëse $\mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})$ dhe $\mathbf {A} (n\times n)$ dhe $\mathbf {B} (p\times p)$ atëherë janë matrica jo të anasjellta

\mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).

Funksioni karakteristik është ^[3]

\phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),

ku

B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,

dhe ku $B_{\delta }$ është funksioni i tipit dy Bessel i Herzit i një argumenti matricor.

^ Zhu, Shenghuo and Kai Yu and Yihong Gong (2007). "Predictive Matrix-Variate t Models." Arkivuar 25 maj 2012 tek Wayback Machine In J. C. Platt, D. Koller, Y. Singer, and S. Roweis, editors, NIPS '07: Advances in Neural Information Processing Systems 20, pages 1721–1728. MIT Press, Cambridge, MA, 2008. The notation is changed a bit in this article for consistency with the matrix normal distribution article.
^ Gupta, Arjun K and Nagar, Daya K (1999). Matrix variate distributions. CRC Press. fq. Chapter 4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
^ ^a ^b Iranmanesh, Anis, M. Arashi and S. M. M. Tabatabaey (2010). "On Conditional Applications of Matrix Variate Normal Distribution". Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics, 5:2, pp. 33–43.

[1] Zhu, Shenghuo and Kai Yu and Yihong Gong (2007). "Predictive Matrix-Variate t Models." Arkivuar 25 maj 2012 tek Wayback Machine In J. C. Platt, D. Koller, Y. Singer, and S. Roweis, editors, NIPS '07: Advances in Neural Information Processing Systems 20, pages 1721–1728. MIT Press, Cambridge, MA, 2008. The notation is changed a bit in this article for consistency with the matrix normal distribution article.

[2] Gupta, Arjun K and Nagar, Daya K (1999). Matrix variate distributions. CRC Press. fq. Chapter 4. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)

[iranmanesh-3] Iranmanesh, Anis, M. Arashi and S. M. M. Tabatabaey (2010). "On Conditional Applications of Matrix Variate Normal Distribution". Iranian Journal of Mathematical Sciences and Informatics, 5:2, pp. 33–43.

[1]

[2]

[3]