Shuma e ndryshoreve të rastit të shpërndara normalisht

Në teorinë e probabilitetit, llogaritja e shumës së ndryshoreve të rastit me shpërndarje normale është një shembull i aritmetikës së ndryshoreve të rastit .

Ndryshore rasti të pavarura

Le të jenë $X$ dhe $Y$ ndryshore rasti të pavarura që shpërndahen normalisht (dhe për rrjedhojë edhe bashkërisht kështu), atëherë shuma e tyre gjithashtu shpërndahet normalisht. dmth, nëse

$X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})$

$Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})$

$Z=X+Y,$

atëherë

$Z\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}).$

Kjo do të thotë që shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht është normale, ku mesatarja e saj është shuma e dy mesatareve dhe varianca e saj është shuma e dy variancave (d.m.th., katrori i devijimit standard është shuma e katrorët e devijimeve standarde).

Në mënyrë që ky rezultat të qëndrojë, supozimi se $X$ dhe $Y$ janë të pavarura nuk mund të hiqet, megjithëse mund të dobësohet në supozimin se $X$ dhe $Y$ janë të shpërndara normalisht së bashku, dhe jo veçmas. (Shih këtu për një shembull .)

Vërtetimi

Vërtetimi duke përdorur funksione karakteristike

Funksioni karakteristik

$\varphi _{X+Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it(X+Y)}\right)$

i shumës së dy ndryshoreve të rastit të pavarura $X$ dhe $Y$ është vetëm prodhimi i dy funksioneve të veçanta karakteristike:

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right),\qquad \varphi _{Y}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itY}\right)$

e $X$ dhe $Y$.

Funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me vlerë të pritur $\mu$ dhe variancë $\sigma ^{2}$ është

$\varphi (t)=\exp \left(it\mu -{\sigma ^{2}t^{2} \over 2}\right).$

Kështu që

${\begin{aligned}\varphi _{X+Y}(t)=\varphi _{X}(t)\varphi _{Y}(t)&=\exp \left(it\mu _{X}-{\sigma _{X}^{2}t^{2} \over 2}\right)\exp \left(it\mu _{Y}-{\sigma _{Y}^{2}t^{2} \over 2}\right)\\[6pt]&=\exp \left(it(\mu _{X}+\mu _{Y})-{(\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})t^{2} \over 2}\right).\end{aligned}}$

Ky është funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me pritje matematike $\mu _{X}+\mu _{Y}$ dhe variancë $\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}$

Ndryshore rasti të korreluara

Në rast se ndryshoret $X$ dhe $Y$ janë së bashku të shpërndara normalisht, atëherë $X+Y$ është ende e shpërndarë normalisht dhe mesatarja është shuma e mesatareve. Megjithatë, variancat nuk janë shtuese për shkak të korrelacionit. Me të vërtetë,

$\sigma _{X+Y}={\sqrt {\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2}+2\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}}},$

ku ρ është korrelacioni . Në veçanti, sa herë që ρ < 0, atëherë varianca është më e vogël se shuma e variancave të X dhe Y.