Shpërndarja normale

Në statistikë, një shpërndarje normale ose shpërndarje Gausiane është një lloj shpërndarjeje e vazhdueshme probabiliteti për një ndryshore të rastësishme me vlera reale . Forma e përgjithshme e funksionit të densitetit të probabilitetit të tij është

Shpërndarja normale

Probability density function Kurba e kuqe është shpërndarja normale standarde
Cumulative distribution function
Simboli	${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$
Parametrat	$\mu \in \mathbb {R}$ = vendndodhja $\sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{>0}$ = shkalla
Mbështetës	$x\in \mathbb {R}$
FDGJ	${\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$
FGSH	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$
Kuantili	$\mu +\sigma {\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)$
Vlera e pritur	$\mu$
Mediana	$\mu$
Moda	$\mu$
Varianca	$\sigma ^{2}$
DMA	$\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(1/2)$
Shtrirja	$0$
Kurtoza e tepërt	$0$
Entropia	${\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+{\frac {1}{2}}$
FGJM	$\exp(\mu t+\sigma ^{2}t^{2}/2)$
FK	$\exp(i\mu t-\sigma ^{2}t^{2}/2)$
Informacione për Fisher	${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma )={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$ ${\mathcal {I}}(\mu ,\sigma ^{2})={\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&1/(2\sigma ^{4})\end{pmatrix}}$
Divergjenca Kullback-Leibler	${1 \over 2}\left\{\left({\frac {\sigma _{0}}{\sigma _{1}}}\right)^{2}+{\frac {(\mu _{1}-\mu _{0})^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}-1+\ln {\sigma _{1}^{2} \over \sigma _{0}^{2}}\right\}$

$f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}$

Parametri $\mu$ është mesatarja ose pritja matematike e shpërndarjes (dhe gjithashtu mesorja dhe moda e saj), ndërsa parametri $\sigma$ është devijimi standard i tij. Varianca e shpërndarjes është $\sigma ^{2}$ . Një ndryshore e rastësishme me shpërndarje Gausiane thuhet se është e shpërndarë normalisht .

Shpërndarjet normale janë të rëndësishme në statistikë dhe shpesh përdoren në shkenca natyrore dhe sociale për të përfaqësuar ndryshore rasti me vlera reale, shpërndarjet e të cilave nuk dihen. Rëndësia e shpërndarjes normale vjen pjesërisht për shkak të teoremës së qendrore limite . Ai thotë se, në disa kushte, mesatarja e shumë zgjedhjeve (vëzhgimeve) të një ndryshoreje rasti me pritje dhe dispersion të fundëm është në vetvete një ndryshore rasti - shpërndarja e së cilës konvergjon në një shpërndarje normale teksa numri i zgjedhjeve rritet. Prandaj, madhësitë fizike që priten të jenë shuma e shumë proceseve të pavarura, siç janë gabimet e matjes, shpesh kanë shpërndarje që janë pothuajse normale.

Për më tepër, shpërndarjet Gausiane kanë disa veti unike që janë të vlefshme në studimet analitike. Për shembull, çdo kombinim linear i disa ndryshoreve që ndjekin ligj normal është një ndryshore rasti që ndjek po një ligj normal. Shumë rezultate dhe metoda, të tilla si përhapja e pasigurisë dhe përshtatja e parametrave të katrorëve më të vegjël, mund të nxirren në mënyrë analitike në formë të qartë kur ndryshoret përkatëse shpërndahen normalisht.

Një shpërndarje normale nganjëherë quhet joformalisht një kurbë këmbanë . Megjithatë, shumë shpërndarje të tjera janë në formë këmbane (të tilla si Cauchy, e Studentit dhe shpërndarjet logjistike ).

Shpërndarja e probabilitetit njëdimensional përgjithësohet për vektorët në shpërndarjen normale multivariate dhe për matricat në shpërndarjen normale të matricës .

Përkufizimet

Shpërndarja normale standarde

Rasti më i thjeshtë i një shpërndarjeje normale njihet si shpërndarja normale standarde ose shpërndarja normale njësi . Ky është një rast i veçantë kur $\mu =0$ dhe $\sigma =1$, dhe përshkruhet nga ky funksion i densitetit të probabilitetit (ose densiteti):

$\varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}}.$

Ndryshorja $z$ ka një mesatare 0 dhe variancë dhe devijim standard të barabartë me 1. Dendësia $\varphi (z)$ arrin majën e saj $1/{\sqrt {2\pi }}$ në $z=0$ dhe pikat e infleksionit në $z=+1$ dhe $z=-1$ .

Shpërndarja e përgjithshme normale

Çdo shpërndarje normale është një modifikim i shpërndarjes normale standarde, domeini i së cilës është shtrirë me një faktor $\sigma$ (devijimi standard) dhe më pas zhvendoset me $\mu$ (vlera mesatare):

$f(x\mid \mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma }}\varphi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

Nqs $Z$ ndjek ligjin normal standard, atëherë $X=\sigma Z+\mu$ do të ketë një shpërndarje normale me pritje matematike $\mu$ dhe devijim standard $\sigma$. Në mënyrë analoge, nëse $X$ ndjek një ligj normal me parametera $\mu$ dhe $\sigma ^{2}$, atëherë shpërndarja e $X$mund të rishkallëzohet dhe të zhvendoset duke zbatuar formulën $Z=(X-\mu )/\sigma$ për ta kthyer atë në shpërndarjen normale standarde. Ndryshorja $Z$ quhet ndrysha forma e standardizuar e $X$.

Shënimi

Shpërndarja normale shpesh shënohet me simbolet $N(\mu ,\sigma ^{2})$ ose ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ . Kështu kur një ndryshore rasti $X$ zakonisht ndjek një ligj normal me mesatare $\mu$ dhe devijimi standard $\sigma$, mund të shkruhet

$X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2}).$

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni kumulativ (mbledhës) i shpërndarjes (CDF) i shpërndarjes normale standarde, zakonisht i shënuar me germën e madhe greke $\Phi$, jepet si integrali

$\Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt$

Funksioni i gabimit $\operatorname {erf} (x)$ jep probabilitetin që një ndryshore rasti, me shpërndarje normale dhe mesatare 0 dhe variancë 1/2 të bjerë në intervalin $[-x,x]$ . Kjo është:

$\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$

Këto integrale nuk mund të shprehen në terma të funksioneve elementare, pra janë të paintegrueshme me kuadraturë, dhe shpesh thuhet se janë funksione speciale . Megjithatë, njihen shumë përafrime numerike të tyre.

Të dy funksionet janë të lidhura ngushtë, domethënë

$\Phi (x)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]$

Për një shpërndarje normale të zakonshme me dendësi $f$, pritje matematike $\mu$ dhe devijimi $\sigma$, funksioni mbledhës i shpërndarjes është

$F(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$

Një përafrim i shpejtë i CDF-së së shpërndarjes normale standarde mund të gjendet duke përdorur një përafrim nëpërmjet serisë Tejlor:

$\Phi (x)\approx {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{k=0}^{n}{\frac {\left(-1\right)^{k}x^{\left(2k+1\right)}}{2^{k}k!\left(2k+1\right)}}$

Devijimi standard dhe mbulimi

Për shpërndarjen normale, vlerat më pak se një devijim standard larg mesatares përbëjnë 68.27% të grupit; ndërsa dy devijime standarde nga mesatarja përbëjnë 95.45%; dhe tre devijime standarde përbëjnë 99.73%.

Rreth 68% e vlerave të nxjerra nga një shpërndarje normale janë brenda një devijimi standard σ larg mesatares $[\mu -\sigma ;\mu +\sigma ]$; rreth 95% e vlerave qëndrojnë brenda dy devijimeve standarde; dhe rreth 99.7% janë brenda tre devijimeve standarde. Ky fakt njihet si rregulli 68-95-99.7 (empirik), ose rregulli 3-sigma .

Më saktësisht, probabiliteti që një realizim (rast) i n.r me ligj normal të jetë në intervalin ndërmjet $\mu -n\sigma$ dhe $\mu +n\sigma$ jepet nga

$F(\mu +n\sigma )-F(\mu -n\sigma )=\Phi (n)-\Phi (-n)=\operatorname {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right).$

Vetitë

Shpërndarja normale është e vetmja shpërndarje kumulantët e së cilës përtej dy të parave (dmth., përveç mesatares dhe variancës ) janë zero. Është gjithashtu shpërndarja e vazhdueshme me entropinë maksimale për një mesatare dhe variancë të caktuar. Geary ka treguar, duke supozuar se mesatarja dhe varianca janë të fundme, se shpërndarja normale është e vetmja shpërndarje ku mesatarja dhe varianca e llogaritur nga një grup i pavaru janë të pavarura nga njëra-tjetra.

Shpërndarja normale është simetrike me bosht simetrie mesataren e saj dhe është jo zero mbi të gjithë vijën reale. Si e tillë, mund të mos jetë një model i përshtatshëm për variablat që janë në thelb pozitive ose shumë të anuara, si pesha e një personi ose çmimi i një aksioni . Ndryshore të tilla mund të përshkruhen më mirë nga shpërndarje të tjera, të tilla si shpërndarja log-normale ose shpërndarja Pareto .

Shpërndarja gausiane i përket familjes së shpërndarjeve të qëndrueshme. Me përjashtim të Gaussian-it që është një rast kufizues, të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme kanë bishta të rëndë dhe variancë të pafundme. Është një nga shpërndarjet e pakta që janë të qëndrueshme dhe që kanë funksione të densitetit të probabilitetit të cilat mund të shprehen në mënyrë analitike, të tjerat janë shpërndarja Cauchy dhe shpërndarja Lévy .

Shpërndarjet e ndërlidhura

Teorema e kufirit qendror

Ndërsa numri i ngjarjeve diskrete rritet, funksioni fillon të ngjajë me një shpërndarje normale

Teorema qendrore limite pohon se në kushte të caktuara (mjaft të zakonshme), shuma e shumë ndryshoreve të rastit do të ketë një shpërndarje afërsisht normale. Më konkretisht, kur $X_{1},\ldots ,X_{n}$ janë variabla të rastësishme të pavarura dhe të shpërndara identikisht me të njëjtën shpërndarje çfarëdo, mesatare zero dhe variancë $\sigma ^{2}$ dhe $Z$ është mesatarja e tyre e shkallëzuar nga ${\sqrt {n}}$

$Z={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\right)$

Atëherë, kur $n$ rritet, shpërndarja e probabilitetit të $Z$ do të prirent drejt shpërndarjes normale me mesatare 0 dhe variancë $\sigma ^{2}$ .

Teorema mund të shtrihet për variabla $(X_{i})$ që nuk janë të pavarura dhe/ose jo të shpërndara identikisht nëse vendosen kufizime të caktuara mbi shkallën e varësisë dhe momentet e shpërndarjeve.

Teorema e kufirit qendror nënkupton gjithashtu që shpërndarje të caktuara mund të përafrohen me shpërndarjen normale, për shembull:

• Shpërndarja binomiale $B(n,p)$ është afërsisht normale me mesatare $np$ dhe variancë $np(1-p)$ për $n$ të mëdha dhe për vlera të $p$ jo shumë afër 0 ose 1.
• Shpërndarja Poisson me parametër $\lambda$ është afërsisht normale me mesatare $\lambda$ dhe variancë $\lambda$, për vlera të mëdha të $\lambda$ .
• Shpërndarja hi-katror $\chi ^{2}(k)$ është afërsisht normale me mesatare $k$ dhe variancë $2k$, për vlera të mëdha të $k$ .
• Shpërndarja e studentit t $t(\nu )$ është afërsisht normale me mesatare 0 dhe variancë 1 kur $\nu$ është e madhe.

Nëse këto përafrime janë të sakta mjaftueshëm varet nga qëllimi për të cilin nevojiten dhe nga shkalla e konvergjencës me shpërndarjen normale. Zakonisht ndodh që përafrime të tilla janë më pak të sakta në bishtat e shpërndarjes.

Veprimet dhe funksionet e ndryshoreve normale

Dendësia e probabilitetit, shpërndarja kumulative dhe shpërndarja kumulative e anasjelltë e çdo funksioni të një ose më shumë ndryshoreve normale të pavarura ose të ndërlidhura mund të llogariten me metodën numerike të gjurmimit të rrezeve ( kodi Matlab ). Në seksionet e mëposhtme do të shohim disa raste të veçanta.

Veprimet mbi një ndryshore të vetme normale

Nëse $X$ ndjek një ligj normal me mesatare $\mu$ dhe variancë $\sigma ^{2}$, atëherë

• $aX+b$, për çdo numër real $a$ dhe $b$, gjithashtu ndjek një shpërndarje normale, me mesatare $a\mu +b$ dhe devijim standard $|a|\sigma$ . Kjo do të thotë se familja e shpërndarjeve normale është e mbyllur nën transformimet lineare .
• Eksponenciali i $X$ shpërndahet log-normalisht : $e^{X}\sim \ln(N(\mu ,\sigma ^{2}))$ .
• Vlera absolute e $X$ ka shpërndarje normale të palosshme : ${\left|X\right|\sim N_{f}(\mu ,\sigma ^{2})}$ . Nëse $\mu =0$ kjo njihet si shpërndarja gjysëm normale .
• Vlera absolute e mbetjeve të normalizuara, pra $|X-\mu |/\sigma$, ka shpërndarje hi me një shkallë lirie: $|X-\mu |/\sigma \sim \chi _{1}$ .
• Katrori i $X/\sigma$ ka shpërndarjen joqendrore hi-katrore me një shkallë lirie: ${\textstyle X^{2}/\sigma ^{2}\sim \chi _{1}^{2}(\mu ^{2}/\sigma ^{2})}$ . Nëse $\mu =0$, shpërndarja quhet thjesht hi-katrore .
• $(X-\mu )^{-2}$ ka një shpërndarje Lévy me vendndodhje 0 dhe shkallë $\sigma ^{-2}$ .

Veprimet në dy ndryshore normale të pavarura

• Nëse $X_{1}$ dhe $X_{2}$ janë dy ndryshore rasti normale të pavarura, me mesatare $\mu _{1}$, $\mu _{2}$ dhe devijime standarde $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$, atëherë shuma e tyre $X_{1}+X_{2}$ gjithashtu do të ndjekë një shpërndarje normale, ^[prova] me mesatare $\mu _{1}+\mu _{2}$ dhe variancë $\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$ .
• Në veçanti, nëse $X$ dhe $Y$ janë normale të pavarura me mesatare 0 dhe variancë $\sigma ^{2}$, atëherë $X+Y$ dhe $X-Y$ janë gjithashtu të pavarura dhe të shpërndara normalisht, me mesatare zero dhe variancë $2\sigma ^{2}$ . Ky është një rast i veçantë i identitetit të polarizimit .
• Nëse $X_{1}$, $X_{2}$ janë dy n.r normale të pavarura me mesatare $\mu$ dhe devijim $\sigma$, dhe $a$, $b$ janë numra realë arbitrarë, atëherë ndryshorja:$$X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu$$$$X_{3}={\frac {aX_{1}+bX_{2}-(a+b)\mu }{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}+\mu$$
• Nëse $X_{k}\sim {\mathcal {N}}(m_{k},\sigma _{k}^{2})$, $k\in \{0,1\}$ janë shpërndarje normale, atëherë mesatarja e tyre gjeometrike e normalizuar ${\frac {1}{\int _{\mathbb {R} ^{n}}X_{0}^{\alpha }(x)X_{1}^{1-\alpha }(x)\,{\text{d}}x}}X_{0}^{\alpha }X_{1}^{1-\alpha }$ është një shpërndarje normale ${\mathcal {N}}(m_{\alpha },\sigma _{\alpha }^{2})$ me $m_{\alpha }={\frac {\alpha m_{0}\sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )m_{1}\sigma _{0}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}$ dhe $\sigma _{\alpha }^{2}={\frac {\sigma _{0}^{2}\sigma _{1}^{2}}{\alpha \sigma _{1}^{2}+(1-\alpha )\sigma _{0}^{2}}}$ (shih këtu për një vizualizim).

Veprimet në dy ndryshore normale standarde të pavarura

Nëse $X_{1}$ dhe $X_{2}$ janë dy n.r standarde të pavarura me mesatare 0 dhe variancë 1, atëherë

• Shuma dhe diferenca e tyre ndjek një shpërndarje normale me mesatare zero dhe variancë dy: $X_{1}\pm X_{2}\sim {\mathcal {N}}(0,2)$ .
• Produkti i tyre $Z=X_{1}X_{2}$ ndjek shpërndarjen e produktit me funksionin e densitetit $f_{Z}(z)=\pi ^{-1}K_{0}(|z|)$ ku $K_{0}$ është funksioni Bessel i modifikuar i llojit të dytë . Kjo shpërndarje është simetrike rreth zeros, e pakufizuar në $z=0$, dhe ka funksionin karakteristik $\phi _{Z}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}$ .
• Raporti i tyre ndjek shpërndarjen standarde Cauchy : $X_{1}/X_{2}\sim \operatorname {Cauchy} (0,1)$ .
• Norma e tyre Euklidiane ${\sqrt {X_{1}^{2}+X_{2}^{2}}}$ ka shpërndarjen Rayleigh .

Veprimet në shumë ndryshore normale të pavarura

• Çdo kombinim linear i n.r normale është ndryshore rasti normale.
• Nëse $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ janë ndryshore të rastit normale standarde dhe të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre ka shpërndarjen chi-katror me $n$ shkallë lirie $$X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\sim \chi _{n}^{2}.$$
• Nëse $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ janë n.r të pavarura të shpërndara normalisht me mesatare $\mu$ dhe variancë $\sigma ^{2}$, atëherë mesatarja e kampionit të tyre është e pavarur nga devijimi standard i mostrës. Raporti i këtyre dy madhësive do të ketë shpërndarjen e Studentit me $n-1$ shkallët e lirisë: $$t={\frac {{\overline {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}={\frac {{\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})-\mu }{\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\left[(X_{1}-{\overline {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\overline {X}})^{2}\right]}}}\sim t_{n-1}.$$
• Nëse $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$, $Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{m}$ janë ndryshore rasti normale standarde të pavarura, atëherë raporti i shumave të tyre të normalizuara të katrorëve do të ndjekë shpërndarjen F me (n, m ) shkallë lirie: $$F={\frac {\left(X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}\right)/n}{\left(Y_{1}^{2}+Y_{2}^{2}+\cdots +Y_{m}^{2}\right)/m}}\sim F_{n,m}.$$

Ndodhja dhe aplikimet

Ndodhja e shpërndarjes normale në problemet praktike mund të klasifikohet lirshëm në katër kategori:

1. Shpërndarjet saktësisht normale;
2. Ligjet përafërsisht normale, për shembull kur një përafrim i tillë justifikohet nga teorema qendrore limite ; dhe
3. Shpërndarjet e modeluara si normale – shpërndarja normale është shpërndarja me entropinë maksimale për një mesatare dhe variancë të caktuar.
4. Problemet e regresionit - shpërndarja normale gjendet pasi efektet sistematike janë modeluar mjaft mirë.

Normalitet i saktë

Gjendja bazë e një oshilatori harmonik kuantik ka shpërndarjen Gausiane.

Madhësi të caktuara në fizikë shpërndahen normalisht, siç u demonstrua për herë të parë nga James Clerk Maxwell . Shembuj të madhësuve të tilla janë:

• Funksioni i densitetit të probabilitetit të një gjendjeje bazë në një oshilator kuantik harmonik .
• Pozicioni i një grimce që përjeton difuzion . Nëse fillimisht grimca ndodhet në një pikë specifike , atëherë pas t kohe, vendndodhja e saj përshkruhet nga një shpërndarje normale me variancë t, e cila kënaq ekuacionin e difuzionit . ${\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}f(x,t)$ . Nëse vendndodhja fillestare jepet nga një funksion i caktuar i densitetit $g(x)$, atëherë dendësia në kohën t është konvolucioni i g dhe PDF-së normale.

Normalitet i përafërt

Shpërndarjet përafërsisht normale ndodhin në shumë situata, siç shpjegohet nga TQL . Kur rezultati prodhohet nga shumë efekte të vogla që veprojnë në mënyrë mbledhëse dhe të pavarur, shpërndarja e tij do të jetë afër normales. Përafrimi normal nuk do të jetë i vlefshëm nëse efektet veprojnë në mënyrë shumëzuese (në vend të shtimit), ose nëse ka një ndikim të vetëm të jashtëm që ka një madhësi dukshëm më të madhe se efektet e tjera.

• Në problemet e numërimit, ku teorema qendrore limite përfshin një përafrim diskret në vazhdimësi dhe ku përfshihen shpërndarje pafundësisht të pjesëtueshme dhe të zbërthyeshme, si p.sh.
  • Ndryshore të rastit binomiale, të lidhura me variablat e përgjigjes binare;
  • Ndryshore të rastit Poisson, të lidhura me ngjarje të rralla;
• Rrezatimi termik ka një shpërndarje Bose-Einstein në shkallë shumë të shkurtra kohore dhe një shpërndarje normale në shkallë më të gjata kohore për shkak të teoremës së kufirit qendror.

Normalitet i supozuar

Histogrami i gjerësisë së sepalit për Iris versicolor nga grupi i të dhënave të luleve të Iris, me shpërndarjen normale ë të përshtatshme të mbivendosur.

Ka metoda statistikore për të testuar në mënyrë empirike atë supozim; shih seksionin e mësipërm të testeve të normalitetit .

• Në biologji, logaritmi i variableve të ndryshme priret të ketë një shpërndarje normale, domethënë, ata priren të kenë një shpërndarje log-normale (pas ndarjes në nënpopullatat meshkuj/femra), me shembuj që përfshijnë:
  • Matjet e madhësisë së indit të gjallë (gjatësia, lartësia, sipërfaqja e lëkurës, pesha);
  • Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë, në drejtim të rritjes ;mendohet se trashësia e lëvores së pemës gjithashtu i përket kësaj kategorie;
  • Disa matje fiziologjike, si presioni i gjakut tek njerëzit e rritur.
• Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të bursës supozohen normale (këto variabla sillen si interesi i përbërë, jo si interesi i thjeshtë dhe kështu janë shumëzues). Disa matematikanë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar se shpërndarjet log-Levy, të cilat posedojnë bishta të rëndë do të ishin një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve.
• Gabimet e matjes në eksperimentet fizike shpesh modelohen nga një shpërndarje normale. Ky përdorim i një shpërndarjeje normale nuk nënkupton që dikush po supozon se gabimet e matjes shpërndahen normalisht, përkundrazi përdorimi i shpërndarjes normale prodhon parashikimet më konservatore të mundshme duke pasur parasysh vetëm njohuritë rreth mesatares dhe variancës së gabimeve.
• Në testimin e standardizuar, rezultatet mund të bëhen që të kenë një shpërndarje normale ose duke zgjedhur numrin dhe vështirësinë e pyetjeve (si në testin IQ ) ose duke i transformuar rezultatet e testit të papërpunuara në rezultate "output" duke i përshtatur ato në shpërndarjen normale. Për shembull, diapazoni tradicional i SAT prej 200–800 bazohet në një shpërndarje normale me një mesatare prej 500 dhe një devijim standard prej 100.