Shtrirja

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, anësia është një masë e asimetrisë së shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje rasti me vlerë reale rreth mesatares së saj. Vlera e anësisë mund të jetë pozitive, zero, negative ose e papërcaktuar.

Shpërndarja e shembullit me anësi pozitive. Këto të dhëna janë nga eksperimentet mbi rritjen e barit të grurit.

Për një shpërndarje njëmodale, animi negativ zakonisht tregon se bishti është në anën e majtë të shpërndarjes, dhe animi pozitiv tregon se bishti është në të djathtë. Në rastet kur njëri bisht është i gjatë, por bishti tjetër është i trashë, anësia nuk i bindet një rregulli të thjeshtë. Për shembull, një vlerë zero do të thotë që bishtat në të dyja anët e mesatares baraspeshohen në përgjithësi; ky është rasti për një shpërndarje simetrike, por mund të jetë gjithashtu e vërtetë për një shpërndarje asimetrike ku një bisht është i gjatë dhe i hollë, dhe tjetri është i shkurtër por i trashë.

E ç'është anësia?

Konsideroni dy shpërndarjet në figurën më poshtë. Brenda secilit grafik, vlerat në anën e djathtë të shpërndarjes rrëkehen ndryshe nga vlerat në anën e majtë. Këto anë të ngushta quhen bishta dhe ato ofrojnë një mjet pamor për të përcaktuar se cilin nga dy llojet e anësisë ka një shpërndarje:

1. anim negativanësia negative: Bishti i majtë është më i gjatë; masa e shpërndarjes është e përqendruar në të djathtë të figurës. Shpërndarja thuhet se është e anuar majtas, me bisht majtas ose e anuar në të majtë, pavarësisht nga fakti se vetë kurba duket se është e anuar djathtas; majtas në vend të kësaj i referohet bishtit të majtë që është nxjerrë jashtë dhe, shpesh, mesatarja është anuar në të majtë të një qendre tipike të të dhënave. Një shpërndarje e anuar majtas zakonisht shfaqet si një kurbë me prirje djathtas .
2. anim pozitivanësia pozitive: Bishti i djathtë është më i gjatë; masa e shpërndarjes është e përqendruar në të majtë të figurës. Shpërndarja thuhet se është e anuar djathtas, me bisht djathtas ose e anuar djathtas, pavarësisht nga fakti se vetë kurba duket se është e anuar në të majtë; e djathta në vend të kësaj i referohet bishtit të djathtë që është nxjerrë jashtë dhe, shpesh, mesatarja është anuar në të djathtë të një qendre tipike të të dhënave. Një shpërndarje e anuar djathtas zakonisht shfaqet si një kurbë me prirje majtas .

Përkufizimi

Koeficienti i anësisë së momentit Fisher

Shtrirja $\gamma _{1}$ i një ndryshoreje të rastit $X$ është momenti i tretë i standardizuar ${\tilde {\mu }}_{3}$, e përcaktuar si:

$\gamma _{1}:={\tilde {\mu }}_{3}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}={\frac {\kappa _{3}}{\kappa _{2}^{3/2}}}$

ku $\mu$ është mesatarja, $\sigma$ është devijimi standard, $E$ është operatori i pritjes, μ ₃ është momenti i tretë qendror dhe $k_{t}$ janë mbledhësit e t -të. Nganjëherë referohet si koeficienti i anshmërisë së momentit të Pirsonit, ose thjesht koeficienti i anësisë së momentit, por nuk duhet të ngatërrohet me statistikat e tjera të anësisë së Pirsonit (shih më poshtë). Barazia e fundit shpreh anësinë në terma të raportit të mbledhësit të tretë κ ₃ me fuqinë 1.5 të mbledhësit të dytë κ ₂ . Kjo është analoge me përkufizimin e kurtozës si kumulanti i katërt i normalizuar nga katrori i mbledhësit të dytë. Shtrirja nganjëherë shënohet edhe Skew[ X ].

Nëse $\sigma$ është i fundëm, edhe $\mu$ është e fundme dhe anësia mund të shprehet në terma të momentit joqendror $E[X^{3}]$ duke zgjeruar formulën e mëparshme,

${\begin{aligned}{\tilde {\mu }}_{3}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\right)^{3}\right]\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \operatorname {E} [X^{2}]+3\mu ^{2}\operatorname {E} [X]-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu (\operatorname {E} [X^{2}]-\mu \operatorname {E} [X])-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}\\&={\frac {\operatorname {E} [X^{3}]-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}.\end{aligned}}$

Shëmbuj

Anësia mund të jetë e pafundme, si kur

$\Pr \left[X>x\right]=x^{-2}{\mbox{ për }}x>1,\ \Pr[X<1]=0$

ku mbledhësit e tretë janë të pafundëm, ose si kur

$\Pr[X<x]=(1-x)^{-3}/2{\mbox{ për }}x{\mbox{ negative dhe }}\Pr[X>x]=(1+x)^{-3}/2{\mbox{ për }}x{\mbox{ pozitive}}.$

Shembuj të shpërndarjeve me anësi të fundme përfshijnë:

• Një shpërndarje normale dhe çdo shpërndarje tjetër simetrike me moment të tretë të fundëm ka një anshmëri prej 0
• Një shpërndarje gjysmë normale ka një anësi pak më poshtë 1
• Një shpërndarje eksponenciale ka një anësi prej 2
• Një shpërndarje lognormale mund të ketë një anim të çdo vlere pozitive, në varësi të parametrave të saj

Shtrirje e mostrës

Për një kampion prej n vlerash, dy vlerësues natyrorë të anësisë së popullsisë janë

$b_{1}={\frac {m_{3}}{s^{3}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{3/2}}}$

dhe

$g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{3}}{\left[{\tfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}\right]^{3/2}}},$

ku ${\overline {x}}$ është mesatarja e kampionit, $s$ është devijimi standard i mostrës, $m_{2}$ është momenti i dytë qendror i mostrës ( i njëanshëm), dhe $m_{3}$ është momenti qëndror i tretë i mostrës. $g_{1}$ është një metodë e vlerësuesit të momenteve .

Zbatimet

Anësia është një statistikë përshkruese që mund të përdoret së bashku me histogramin dhe grafikun kuantil normal për të karakterizuar të dhënat ose shpërndarjen.

Anësia tregon drejtimin dhe madhësinë relative të devijimit të një shpërndarjeje nga shpërndarja normale.

Me një anësi të theksuar, procedurat standarde të konkluzioneve statistikore si një interval besimi për një mesatare do të jenë jo vetëm të pasakta, në kuptimin që niveli i vërtetë i mbulimit do të ndryshojë nga niveli nominal (p.sh., 95%), por ato gjithashtu do të rezultojnë në probabilitete të pabarabarta të gabimit në secilën anë.

Anësoa mund të përdoret për të marrë probabilitete dhe madhësi të përafërta të shpërndarjeve (siç është vlera në rrezik në financë) nëpërmjet zgjerimit Cornish-Fisher .

Shumë modele supozojnë shpërndarje normale; dmth, të dhënat janë simetrike në lidhje me mesataren. Shpërndarja normale ka një anësi prej zero. Por në realitet, pikat e të dhënave mund të mos jenë plotësisht simetrike. Pra, një kuptim i anësisë së grupit të të dhënave tregon nëse shmangiet nga mesatarja do të jenë pozitive apo negative.