Shpërndarja log-normale

Në teorinë e probabilitetit, një shpërndarje log-normale (ose lognormale ) është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e një ndryshoreje të rastit logaritmi i së cilës shpërndahet normalisht . Kështu, nëse ndryshorja e rastit $X$ është e shpërndarë në mënyrë log-normale, atëherë $Y=\ln X$ ka një shpërndarje normale. Në mënyrë ekuivalente, nëse $Y$ ka një shpërndarje normale, atëherë funksioni eksponencial i $Y$, $X=e^{Y}$, ka një shpërndarje log-normale. Një ndryshore e rastit e cila shpërndahet log-normalisht merr vetëm vlera reale pozitive. Është një model i përshtatshëm dhe i dobishëm për matjet në shkencat ekzakte dhe inxhinierike, si dhe mjekësi, ekonomi dhe tema të tjera (p.sh., energjitë, përqendrimet, gjatësitë, çmimet e instrumenteve financiare dhe metrika të tjera).

Log-normal

Probability density function Identical parameter $\mu$ but differing parameters $\sigma$
Cumulative distribution function $\mu =0$
Simboli	$\operatorname {Lognormal} (\mu ,\,\sigma ^{2})$
Parametrat	$\mu \in (-\infty ,+\infty )$, $\sigma >0$
Mbështetës	$x\in (0,+\infty )$
FDGJ	${\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(\ln {x}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$
FGSH	${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]$
Kuantili	$\exp(\mu +{\sqrt {2\sigma ^{2}}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1))$
Vlera e pritur	$e^{\left(\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)}$
Mediana	$e^{\mu }$
Moda	$e^{(\mu -\sigma ^{2})}$
Varianca	$[e^{(\sigma ^{2})-1}]e^{(2\mu +\sigma ^{2})}$
Shtrirja	$(e^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}$
Kurtoza e tepërt	$e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6$
Entropia	$\log _{2}\left(\sigma e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}\right)$
FGJM	e përcaktuar vetëm për numrat me një pjesë reale jopozitive
FK	përfaqësimi $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}$ është asimptotikisht divergjent por i mjaftueshëm për qëllime numerike
Informacione për Fisher	${\begin{pmatrix}1/\sigma ^{2}&0\\0&2/\sigma ^{2}\end{pmatrix}}$
Metoda e Momenteve	$\mu =\log \left({\frac {\operatorname {E} [X]}{\sqrt {{\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1}}}\right)$, $\sigma ={\sqrt {\log \left({\frac {\operatorname {Var} [X]}{\operatorname {E} [X]^{2}}}+1\right)}}$

Shpërndarja përmendet herë pas here si shpërndarja Galton ose shpërndarja e Galtonit, pas Francis Galton. Shpërndarja log-normale është shoqëruar edhe me emra të tjerë, si McAlister, Gibrat dhe Cobb-Douglas .

Një proces log-normal është realizimi statistikor i produktit shumëzues të shumë ndryshoreve të rastit të pavarura, secila prej të cilave është pozitive. Kjo justifikohet duke marrë parasysh teoremën qëndrore limite në domenin logaritmik (nganjëherë quhet ligji i Gibratit ). Shpërndarja log-normale është shpërndarja maksimale e probabilitetit të entropisë për një variacion të rastit X — për të cilin është specifikuar mesatarja dhe varianca e $\ln(X)$ .

Përkufizimet

Gjenerimi dhe parametrat

Le $Z$ të jetë një ndryshore normale standarde dhe le të jetë $\mu$ dhe $\sigma >0$ të jenë dy numra realë. Pastaj, shpërndarja e ndryshores së rastit

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

quhet shpërndarja log-normale me parametra $\mu$ dhe $\sigma$ . Këto janë pritja matematike (ose mesatarja ) dhe shmangia standarde e logaritmit natyror të ndryshores, jo pritshmëria dhe devijimi standard i $X$ vetë.

Lidhja ndërmjet shpërndarjes normale dhe log-normale. Nëse $Y=\mu +\sigma Z$ atëherë shpërndahet normalisht $X\sim e^{Y}$ shpërndahet log-normalisht.

Kjo marrëdhënie është e vërtetë pavarësisht nga baza e funksionit logaritmik ose eksponencial: nëse $\log _{a}(X)$ shpërndahet normalisht, atëherë kështu është $\log _{b}(X)$ për çdo dy numra pozitivë $a,b\neq 1$ . Po kështu, nëse $e^{Y}$ shpërndahet log-normalisht, atëherë kështu është $a^{Y}$, ku $0<a\neq 1$ .

Për të prodhuar një shpërndarje me mesataren e dëshiruar $\mu _{X}$ dhe variancë $\sigma _{X}^{2}$, përdoret $\mu =\ln \left({\frac {\mu _{X}^{2}}{\sqrt {\mu _{X}^{2}+\sigma _{X}^{2}}}}\right)$ dhe $\sigma ^{2}=\ln \left(1+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\mu _{X}^{2}}}\right).$

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Një ndryshore e rastit pozitive $X$ është e shpërndarë log-normalisht (d.m.th. $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{x},\sigma _{x}^{2})$ ), nëse logaritmi natyror i X është i shpërndarë normalisht me mesatare $\mu$ dhe variancë $\sigma ^{2}$ :

$\ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$

Le të jenë $\Phi$ dhe $\varphi$ përkatësisht funksioni mbledhës i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes N (0,1), atëherë marrim

${\begin{aligned}f_{X}(x)&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(X\leq x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Pr(\ln X\leq \ln x)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\Phi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)\\[6pt]&=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right)=\varphi \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}\right){\frac {1}{\sigma x}}\\[6pt]&={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi \,}}}}\exp \left(-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse

The cumulative distribution function is

$F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {(\ln x)-\mu }{\sigma }}\right)$

ku $\Phi$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes normale standarde (dmth., $N(0,1)$).

Kjo mund të shprehet edhe si vijon:

${\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)$

ku erfc është funksioni i gabimit plotësues .

Modaliteti, mesatarja, kuantilet

Krahasimi i mesatares, medianës dhe modës së dy shpërndarjeve log-normale me anësi të ndryshme.

Moda është pika e maksimumit global të funksionit të dendësisë së probabilitetit. Në veçanti, duke zgjidhur ekuacionin $(\ln f)'=0$, marrim se:

$\operatorname {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.$

Meqenëse ndryshorja e log-transformuar $Y=\ln X$ ka një shpërndarje normale, dhe kuantilet ruhen nën shndërrimet monotonike, kuantilet e $X$ janë

$q_{X}(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\Phi }(\alpha )}=\mu ^{*}(\sigma ^{*})^{q_{\Phi }(\alpha )},$

ku $q_{\Phi }(\alpha )$ është kuantili i shpërndarjes normale standarde.

Në mënyrë të veçantë, mediana e një shpërndarjeje log-normale është e barabartë me mesataren e saj shumëzuese,

$\operatorname {Med} [X]=e^{\mu }=\mu ^{*}.$

Pritja e pjesshme

Pritja e pjesshme e një ndryshoreje të rastit $X$ në lidhje me një prag $k$ përkufizohet si

$g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx.$

Përndryshe, duke përdorur përkufizimin e pritjes së kushtëzuar, mund të shkruhet si $g(k)=\operatorname {E} [X\mid X>k]P(X>k)$ . Për një ndryshore të rastit log-normale, pritja e pjesshme jepet nga:

$g(k)=\int _{k}^{\infty }xf_{X}(x\mid X>k)\,dx=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}\,\Phi \!\left({\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln k}{\sigma }}\right)$

ku $\Phi$ është funksioni normal kumulativ i shpërndarjes.

Pritja e kushtëzuar

Pritja e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastit log-normale $X$ - në lidhje me një prag $k$ — A është pritshmëria e saj e pjesshme e ndarë me probabilitetin mbledhës për të qenë në atë shtrirje:

${\begin{aligned}E[X\mid X<k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\geqslant k]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\mu +\sigma ^{2}-\ln(k)}{\sigma }}\right]}{1-\Phi \left[{\frac {\ln(k)-\mu }{\sigma }}\right]}}\\[8pt]E[X\mid X\in [k_{1},k_{2}]]&=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}\cdot {\frac {\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu -\sigma ^{2}}{\sigma }}\right]}{\Phi \left[{\frac {\ln(k_{2})-\mu }{\sigma }}\right]-\Phi \left[{\frac {\ln(k_{1})-\mu }{\sigma }}\right]}}\end{aligned}}$

Shumëfishi, e anasjellta, fuqia

• Shumëzimi me një konstante: Nëse $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ atëherë $aX\sim \operatorname {Lognormal} (\mu +\ln a,\ \sigma ^{2})$ për $a>0.$
• Reciproke: Nëse $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ atëherë ${\tfrac {1}{X}}\sim \operatorname {Lognormal} (-\mu ,\ \sigma ^{2}).$
• Fuqia: Nëse $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ atëherë $X^{a}\sim \operatorname {Lognormal} (a\mu ,\ a^{2}\sigma ^{2})$ për $a\neq 0.$

Shumëzimi dhe pjesëtimi i ndryshoreve të rastit të pavarura, log-normale

Nëse dy ndryshore të pavarura, log-normale $X_{1}$ dhe $X_{2}$ janë shumëzuar [pjestuar], produkti [raporti] është përsëri log-normal, me parametra $\mu =\mu _{1}+\mu _{2}$ [ $\mu =\mu _{1}-\mu _{2}$ ] dhe $\sigma$, ku $\sigma ^{2}=\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}$ . Kjo përgjithësohet lehtësisht në produktin e $n$ ndryshoreve të tilla.

Në përgjithësi, nëse $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})$ janë $n$ ndryshore të pavarura, të shpërndara normalisht në log, atëherë $Y=\textstyle \prod _{j=1}^{n}X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} {\Big (}\textstyle \sum _{j=1}^{n}\mu _{j},\ \sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}^{2}{\Big )}.$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ është një shpërndarje normale, atëherë $e^{X}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2}).$
• Nëse $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ shpërndahet log-normalisht, atëherë $\ln(X)\sim {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ është një ndryshore e rastit normale.
• Le $X_{j}\sim \operatorname {Lognormal} (\mu _{j},\sigma _{j}^{2})$ të jenë ndryshore të pavarura log-normalisht të shpërndara me mundësisht të ndryshme $\sigma$ dhe $\mu$ parametrat, dhe ${\textstyle Y=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}$ . Shpërndarja e $Y$ nuk ka shprehje në formë të mbyllur, por mund të përafrohet në mënyrë të arsyeshme nga një shpërndarje tjetër log-normale $Z$ në bishtin e djathtë. Funksioni i tij i dendësisë së probabilitetit në afërsi të 0-së është karakterizuar dhe nuk i ngjan ndonjë shpërndarjeje log-normale. Një përafrim i përdorur zakonisht për shkak të LF Fenton (por i deklaruar më parë nga RI Wilkinson dhe i justifikuar matematikisht nga Marlow ) përftohet duke përputhur mesataren dhe variancën e një shpërndarjeje tjetër log-normale:
• $${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[{\frac {\sum e^{2\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}}(e^{\sigma _{j}^{2}}-1)}{(\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\right]-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$$$${\begin{aligned}\sigma _{Z}^{2}&=\ln \!\left[(e^{\sigma ^{2}}-1){\frac {\sum e^{2\mu _{j}}}{(\sum e^{\mu _{j}})^{2}}}+1\right],\\\mu _{Z}&=\ln \!\left[\sum e^{\mu _{j}}\right]+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}-{\frac {\sigma _{Z}^{2}}{2}}.\end{aligned}}$$

Shuma e ndryshoreve të rastit të korreluara log-normalisht të shpërndara mund të përafrohet gjithashtu nga një shpërndarje log-normale $${\begin{aligned}S_{+}&=\operatorname {E} \left[\sum _{i}X_{i}\right]=\sum _{i}\operatorname {E} [X_{i}]=\sum _{i}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}\\\sigma _{Z}^{2}&=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}\operatorname {E} [X_{i}]\operatorname {E} [X_{j}]=1/S_{+}^{2}\,\sum _{i,j}\operatorname {cor} _{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}e^{\mu _{i}+\sigma _{i}^{2}/2}e^{\mu _{j}+\sigma _{j}^{2}/2}\\\mu _{Z}&=\ln \left(S_{+}\right)-\sigma _{Z}^{2}/2\end{aligned}}$$

• Nëse $X\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$ pastaj $X+c$ thuhet se ka një shpërndarje log-normale me tre parametra me mbështetje $x\in (c,+\infty )$ . $\operatorname {E} [X+c]=\operatorname {E} [X]+c$ , $\operatorname {Var} [X+c]=\operatorname {Var} [X]$ .
• Shpërndarja log-normale është një rast i veçantë i shpërndarjes SU gjysmë të kufizuar të Xhonsonit .
• Nëse $X\mid Y\sim \operatorname {Rayleigh} (Y)$ me $Y\sim \operatorname {Lognormal} (\mu ,\sigma ^{2})$, pastaj $X\sim \operatorname {Suzuki} (\mu ,\sigma )$ ( Shpërndarja Suzuki ).

Konkluzioni statistikor

Vlerësimi i parametrave

Për përcaktimin e vlerësuesve të përgjasisë maksimale të parametrave të shpërndarjes log-normale μ dhe σ, mund të përdorim të njëjtën procedurë si për shpërndarjen normale . Vini re se$$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\varphi _{\mu ,\sigma }(\ln x_{i}),$$ku $\varphi$ është funksioni i dendësisë së shpërndarjes normale ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ . Prandaj, funksioni log-përgjasi është$$\ell (\mu ,\sigma \mid x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-\sum _{i}\ln x_{i}+\ell _{N}(\mu ,\sigma \mid \ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n}).$$Meqenëse termi i parë është konstant në lidhje me μ dhe σ, të dy funksionet e përgjasisë logaritmike, $\ell$ dhe $\ell _{N}$, arrijnë maksimumin e tyre me të njëjtën $\mu$ dhe $\sigma$ . Prandaj, vlerësuesit e përgjasisë maksimale janë identikë me ata për një shpërndarje normale për vëzhgimet $\ln x_{1},\ln x_{2},\dots ,\ln x_{n})$ ,$${\widehat {\mu }}={\frac {\sum _{i}\ln x_{i}}{n}},\qquad {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum _{i}\left(\ln x_{i}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}{n}}.$$

Ndodhia dhe zbatimet

Shpërndarja log-normale është e rëndësishme në përshkrimin e dukurive natyrore. Shumë procese të rritjes natyrore nxiten nga mbledhja i shumë ndryshimeve të vogla në përqindje të cilat bëhen shtuese në një shkallë logaritmike. Nën kushte të përshtatshme rregullsie, shpërndarja e ndryshimeve të mbledhura që rezultojnë do të përafrohet gjithnjë e më mirë nga një log-normale. Ky njihet gjithashtu si ligji i Gibratit, sipas Robert Gibrat (1904–1980) i cili e formuloi atë për kompanitë. Nëse shkalla e mbledhjes së këtyre ndryshimeve të vogla nuk ndryshon me kalimin e kohës, rritja bëhet e pavarur nga madhësia. Edhe nëse ky supozim nuk është i vërtetë, shpërndarjet e madhësisë në çdo moshë të gjërave që rriten me kalimin e kohës priren të jenë log-normale. Rrjedhimisht, shtrirja e referencës për matjet në individë të shëndetshëm vlerësohen më saktë duke supozuar një shpërndarje log-normale sesa duke supozuar një shpërndarje simetrike rreth mesatares. 

Një justifikim i dytë bazohet në vëzhgimin se ligjet themelore natyrore nënkuptojnë shumëzime dhe pjesëtime të ndryshoreve pozitive. Shembuj janë ligji i thjeshtë i gravitetit që lidh masat dhe largësinë me forcën që rezulton, ose formula për përqendrimet e baraspeshës të kimikateve në një tretësirë që lidh përqendrimet e edukteve dhe produkteve. Supozimi i shpërndarjeve log-normale të ndryshoreve të përfshira çon në modele të qëndrueshme në këto raste.

Sjellje njerezore

• Gjatësia e komenteve të postuara në forumet e diskutimit në internet ndjek një shpërndarje log-normale.
• Koha e qëndrimit të përdoruesve nëpër artikuj online (shaka, lajme etj.) ndjek një shpërndarje normale.
• Kohëzgjatja e lojërave të shahut priret të ndjekë një shpërndarje log-normale.
• Kohëzgjatja e fillimit të stimujve të krahasimit akustik që përputhen me një stimul standard ndjekin një shpërndarje log-normale.

Biologji dhe mjekësi

• Matjet e madhësisë së indeve të gjallë (gjatësia, zona e lëkurës, pesha).
• Periudha e inkubacionit të sëmundjeve.
• Diametrat e njollave të gjetheve të bananes, myk pluhur në elb.
• Për epidemitë shumë të transmetueshme, si SARS në 2003, nëse përfshihen politikat e kontrollit të ndërhyrjes publike, numri i rasteve të shtruara në spital tregohet se plotëson shpërndarjen log-normale pa parametra të lirë nëse supozohet një entropi dhe shmangie standarde përcaktohet nga parimi i shkallës maksimale të prodhimit të entropisë .
• Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë. 
• Disa matje fiziologjike, të tilla si tensioni i gjakut i njerëzve të rritur (pas ndarjes në nënpopullata meshkuj/femra).
• Disa variabla farmakokinetikë, si C <sub id="mwAsM">max</sub>, koha e gjysëmeliminimit dhe konstantja e shkallës së eliminimit .
• Në neuroshkencë, shpërndarja e ritmeve të shkrepjes në një popullatë neuronesh është shpesh afërsisht log-normale. Kjo është vërejtur fillimisht në korteks dhe striatum dhe më vonë në hipokampus dhe korteksin entorhinal, dhe gjetkë në tru. Gjithashtu, shpërndarjet e fitimit të brendshëm dhe shpërndarjet e peshës sinaptike duket të jenë gjithashtu log-normale .
• Në menaxhimin e sallave të operacionit, shpërndarja e kohëzgjatjes së operacionit .
• Në madhësinë e orteqeve të thyerjeve në citoskeletin e qelizave të gjalla, duke treguar shpërndarje log-normale, me madhësi dukshëm më të lartë në qelizat kancerogjene sesa ato të shëndetshme.

Kimia

• Shpërndarjet e madhësisë së grimcave dhe shpërndarjet e masës molare .

• Përqendrimi i elementeve të rrallë në minerale.
• Diametrat e kristaleve në akullore, pika vaji në majonezë, poret në tortën me kakao.

Shpërndarja mbledhëse log-normale e përshtatur me reshje maksimale vjetore 1-ditore, shih përshtatjen e shpërndarjes

Shkencat sociale dhe demografia

• Në ekonomi, ka dëshmi se të ardhurat e 97%-99% të popullsisë shpërndahen log-normalisht. (Shpërndarja e personave me të ardhura më të larta ndjek një shpërndarje Pareto ).
• Nëse një shpërndarje e të ardhurave ndjek një shpërndarje log-normale me shmangie standarde $\sigma$, atëherë koeficienti Gini, i përdorur zakonisht për të vlerësuar pabarazinë e të ardhurave, mund të llogaritet si $G=\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma }{2}}\right)$ ku $\operatorname {erf}$ është funksioni i gabimit, pasi $G=2\Phi \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)-1$, ku $\Phi (x)$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes së një shpërndarjeje normale standarde.
• Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të tregut të aksioneve supozohen normale (këto ndryshore sillen si interes i përbërë, jo si interes i thjeshtë, dhe kështu janë shumëzuese) . Megjithatë, disa matematikanë të tillë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar se shpërndarjet log-Lévy, e cila ka për karakteristikë bishta të rëndë do të ishte një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve . Në të vërtetë, shpërndarjet e çmimeve të aksioneve zakonisht shfaqin një bisht të trashë . Shpërndarja me bishta të trashë e ndryshimeve gjatë rrëzimeve të tregut të aksioneve zhvlerëson supozimet e teoremës qëndrore limite .
• Në Scientometrics, numri i citimeve në artikujt e revistave dhe patentave ndjek një shpërndarje diskrete log-normale.
• Madhësitë e qyteteve (popullsia) plotësojnë Ligjin e Gibratit. Procesi i rritjes së përmasave të qyteteve është proporcional dhe i pandryshueshëm në lidhje me madhësinë. Prandaj, nga teorema qëndrore limite, regjistri i madhësisë së qytetit shpërndahet normalisht.
• Numri i partnerëve seksualë duket se përshkruhet më së miri nga një shpërndarje log-normale.

Teknologjia

• Në analizën e besueshmërisë, shpërndarja log-normale përdoret shpesh për të modeluar kohët për të riparuar një sistem të mirëmbajtshëm.
• Në komunikimin me valë, "fuqia mesatare vendore e shprehur në vlera logaritmike, të tilla si dB ose neper, ndjek një shpërndarje normale (dmth. Gaussian). Gjithashtu, pengimi i rastësishëm i sinjaleve të radios për shkak të ndërtesave dhe kodrave të mëdha, i quajtur hijezim, shpesh modelohet si një shpërndarje log-normale.
• Shpërndarja e madhësisë së skedarit të skedarëve audio dhe video të qasshme publikisht ( llojet MIME ) ndjek një shpërndarje log-normale mbi pesë rende madhësie .
• Madhësitë e skedarëve prej 140 milionë skedarësh në kompjuterët personalë që përdorin Windows OS, të mbledhura në vitin 1999.
• Madhësitë e emaileve të bazuara në tekst (1990) dhe emaileve të bazuara në multimedia (2000).
• Në rrjetet kompjuterike dhe analizën e trafikut të internetit, log-normal paraqitet si një model i mirë statistikor për të përfaqësuar sasinë e trafikut për njësi të kohës. Kjo është treguar duke zbatuar një qasje të fuqishme statistikore në një grup të madh gjurmësh reale të internetit.