Funksioni i gjenerimit të momentit

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, funksioni i gjenerimit të momentit të një ndryshoreje të rastit me vlerë reale është një specifikim alternativ i shpërndarjes së probabilitetit të saj. Kështu, ai siguron bazën e një rruge alternative për rezultatet analitike krahasuar me punën direkt me funksionet e dendësisë së probabilitetit ose funksionet e shpërndarjes mbledhëse . Ekzistojnë rezultate veçanërisht të thjeshta për funksionet e gjenerimit të momentit të shpërndarjeve të përcaktuara nga shumat e ponderuara të ndryshoreve të rastit. Megjithatë, jo të gjitha ndryshoret e rastit kanë funksione gjeneruese të momentit.

Siç nënkupton edhe emri i tij, funksioni i gjenerimit të momentit mund të përdoret për të llogaritur momentet e një shpërndarjeje: momenti i n- të rreth 0 është derivati i n -të i funksionit të gjenerimit të momentit, i vlerësuar në pikën 0.

E ç'na qënka ky funksion?

Le $X$ të jetë një ndryshore e rastit me FMSH $F_{X}$ . Funksioni gjenerues i momentit (fgjm) i $X$ (ose $F_{X}$ ), e shënuar me $M_{X}(t)$ , përcaktohet si

M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]

me kusht që kjo pritshmëri të ekzistojë për $t$ në një zonë rrethuese rreth 0. Kjo do të thotë, ekziston një $h>0$ e tillë që për të gjithë $t$ në $-h<t<h$ , ekziston $\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]$ . Nëse pritshmëria nuk ekziston në një afërsi rreth 0, themi se funksioni gjenerues i momentit nuk ekziston. ^[1]

Me fjalë të tjera, funksioni i gjenerimit të momentit të $X$ është pritshmëria e ndryshores së rastit $e^{tX}$ . Në përgjithësi, kur $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ , një vektori i rastit $n$ -dimensional, dhe $\mathbf {t}$ është një vektor fiks, përdoret $\mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X}$ në vend të $tX$ :

M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).

$M_{X}(0)$ ekziston gjithmonë dhe është e barabartë me 1. Sidoqoftë, një problem kryesor me funksionet gjeneruese të momentit është se momentet dhe funksioni i gjenerimit të momentit mund të mos ekzistojnë, pasi integralet nuk duhet të konvergojnë absolutisht. Në të kundërt, funksioni karakteristik ose transformimi Furje ekziston gjithmonë (sepse është integrali i një funksioni të kufizuar në një hapësirë me masë të kufizuar) dhe për disa qëllime mund të përdoret në vend të tij.

Funksioni i gjenerimit të momentit është quajtur kështu sepse mund të përdoret për të gjetur momentet e shpërndarjes. ^[2] Zgjerimi i serisë së $e^{tX}$ është

e^{t\,X}=1+t\,X+{\frac {t^{2}\,X^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\,X^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\,X^{n}}{n!}}+\cdots .

Prandaj

{\begin{aligned}M_{X}(t)=\operatorname {E} (e^{t\,X})&=1+t\operatorname {E} (X)+{\frac {t^{2}\operatorname {E} (X^{2})}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {E} (X^{3})}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\operatorname {E} (X^{n})}{n!}}+\cdots \\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}m_{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}

ku $m_{n}$ eshte $n$ momenti . Diferencimi i $M_{X}(t)$ $i$ herë në lidhje me $t$ dhe vendosja $t=0$ , marrim momentin e $i$ -të rreth origjinës, $m_{i}$ .

Shembuj

Këtu janë disa shembuj të funksionit të gjenerimit të momentit dhe funksionit karakteristik për krahasim. Mund të shihet se funksioni karakteristik është një rrotullim Wick i funksionit të gjenerimit të momentit $M_{X}(t)$ kur kjo e fundit ekziston.

Llogaritja

Funksioni i gjenerimit të momentit është pritshmëria e një funksioni të ndryshores së rastit, mund të shkruhet si:

Për një funksion mase të probabilitetit diskret, $M_{X}(t)=\sum _{i=0}^{\infty }e^{tx_{i}}\,p_{i}$
Për një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm, $M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx$
Në rastin e përgjithshëm: $M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}\,dF(x)$ , duke përdorur integralin Riemann–Stieltjes, dhe ku $F$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes . Ky është thjesht transformimi Laplace-Stieltjes i $F$ , por me shenjën e argumentit të kthyer mbrapsht.

Vini re se për rastin kur $X$ ka një funksion të densitetit të probabilitetit të vazhdueshëm $f(x)$ , $M_{X}(-t)$ është transformimi i Laplasit i dyanshëm të $f(x)$ .

{\begin{aligned}M_{X}(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {t^{n}x^{n}}{n!}}+\cdots \right)f(x)\,dx\\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}

Transformimet lineare të ndryshoreve të rastit

Nëse ndryshorja e rastit $X$ ka funksion gjenerues të momentit $M_{X}(t)$ , pastaj $\alpha X+\beta$ ka funksion gjenerues të momentit $M_{\alpha X+\beta }(t)=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)$

M_{\alpha X+\beta }(t)=E[e^{(\alpha X+\beta )t}]=e^{\beta t}E[e^{\alpha Xt}]=e^{\beta t}M_{X}(\alpha t)

^ Casella, George; Berger, Roger L. (1990). Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole. fq. 61. ISBN 0-534-11958-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Bulmer, M. G. (1979). Principles of Statistics. Dover. fq. 75–79. ISBN 0-486-63760-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1] Casella, George; Berger, Roger L. (1990). Statistical Inference. Wadsworth & Brooks/Cole. fq. 61. ISBN 0-534-11958-1. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[2] Bulmer, M. G. (1979). Principles of Statistics. Dover. fq. 75–79. ISBN 0-486-63760-3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[1]

[2]