Shpërndarja Poisson

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja Poisson ose Puason është një shpërndarje diskrete probabiliteti që shpreh probabilitetin që një numër i caktuar ngjarjesh të ndodhin në një interval të caktuar kohe ose hapësire nëse këto ngjarje ndodhin me një normë mesatare të njohur konstante dhe pavarësisht kohës që nga ngjarja e fundit. Është emëruar sipas matematikanit francez Siméon Denis Poisson ( shqiptimi frëngjisht: [pwasɔ̃] ). Shpërndarja Puason mund të përdoret gjithashtu për numrin e ngjarjeve në lloje të tjera të intervalit të specifikuar si largësia, sipërfaqja ose vëllimi. Ai luan një rol të rëndësishëm për shpërndarjet diskrete-të qëndrueshme .

Shpërndarja Poisson

Probability mass function
Cumulative distribution function
Parametrat	$\lambda \in (0,\infty )$ (rate)
Mbështetës	$k\in \mathbb {N} _{0}$ (Numrat natyrorë duke filluar nga  0)
FMGJ	${\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}$
FGSH	${\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},$ ose $e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},$ ose $Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )$ (për $k\geq 0,$ ku $\Gamma (x,y)$ është funksioni gama i paplotë i sipërm, $\lfloor k\rfloor$ është funksioni dysheme, dhe $Q$ është funksioni gama i rregullarizuar)
Vlera e pritur	$\lambda$
Mediana	$\approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor$
Moda	$\left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor$
Varianca	$\lambda$
Shtrirja	${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}$
Kurtoza e tepërt	${\frac {1}{\lambda }}$
Entropia	$\lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}$   ose për $\lambda$ të mëdha   ${\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}$
FGJM	$\exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]$
FK	$\exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]$
Informacione për Fisher	${\frac {1}{\lambda }}$

Për shembull, një qendër thirrjesh merr mesatarisht 180 thirrje në orë, 24 orë në ditë. Thirrjet janë të pavarura; marrja e njërit nuk e ndryshon probabilitetin se kur do të arrijë tjetri. Numri i thirrjeve të marra gjatë çdo minutë ka një shpërndarje probabiliteti Puason me mesataren 3: numrat më të mundshëm janë 2 dhe 3, por 1 dhe 4 janë gjithashtu të mundshëm dhe ka një probabilitet të vogël që të jetë deri në zero dhe një probabilitet shumë i vogël. mund të jetë 10.

Një shembull tjetër është numri i ngjarjeve të zbërthimit që ndodhin nga një burim radioaktiv gjatë një periudhe të caktuar vëzhgimi.

Historia

Shpërndarja u paraqit për herë të parë nga Siméon Denis Poisson (1781-1840) dhe u botua së bashku me teorinë e tij të probabilitetit në veprën e tij Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile (1837). [2] Puna teorizoi për numrin e dënimeve të gabuara në një vend të caktuar duke u fokusuar në disa ndryshore rasti N që numërojnë, ndër të tjera, numrin e dukurive diskrete (ndonjëherë të quajtura "ngjarje" ose "ardhje") që ndodhin gjatë një kohe - intervali i gjatësisë së dhënë. Rezultati ishte dhënë tashmë në 1711 nga Abraham de Moivre në De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus . Kjo e bën atë një shembull të ligjit të Stiglerit dhe ka nxitur disa autorë të argumentojnë se shpërndarja Poisson duhet të mbajë emrin e de Moivre.

Përkufizimet

Funksioni i masës së probabilitetit

Një ndryshore rasti diskrete X thuhet se ka një shpërndarje Poisson, me parametër $\lambda >0,$ nëse ka një funksion mase probabiliteti të dhënë nga: [11]

$f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},$

ku

• k është numri i ndodhive ($k=0,1,2,\ldots$)
• e është numri i Eulerit ($e=2.71828\ldots$)
• ! është funksioni faktorial.

Numri real pozitiv λ është i barabartë me vlerën e pritur të X dhe gjithashtu me variancën e tij.

$\lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).$

Shpërndarja Poisson mund të aplikohet në sisteme me një numër të madh ngjarjesh të mundshme, secila prej të cilave është e rrallë . Numri i ngjarjeve të tilla që ndodhin gjatë një intervali kohor të caktuar është, në rrethanat e duhura, një numër i rastësishëm me një shpërndarje Poisson.

Ekuacioni mund të përshtatet nëse, në vend të numrit mesatar të ngjarjeve $\lambda ,$ na jepet norma mesatare $r$ në të cilat ndodhin ngjarjet. Pastaj $\lambda =rt,$ dhe:

$P(k{\text{ ngjarje ne intervalin }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.$

Shembull

Çamçakëza në një trotuar. Numri i çimçakizëve në një pllakë të vetme është afërsisht i shpërndarë Poisson.

Shpërndarja Poisson mund të jetë e dobishme për të modeluar ngjarje të tilla si:

• numri i meteoritëve me diametër më të madh se 1 metër që godasin Tokën në një vit;
• numri i fotoneve lazer që godasin një detektor në një interval të caktuar kohor; dhe
• numri i studentëve që kanë arritur një notë të ulët dhe të lartë në një provim.

Supozimet dhe vlefshmëria

Shpërndarja Poisson është një model i përshtatshëm nëse supozimet e mëposhtme janë të vërteta:

• k është numri i herëve që një ngjarje ndodh në një interval dhe k mund të marrë vlerat 0, 1, 2, ... .
• Ndodhja e një ngjarje nuk ndikon tek probabiliteti që një ngjarje e dytë do të ndodhë. Kjo do të thotë, ngjarjet ndodhin në mënyrë të pavarur.
• Shkalla mestare me të cilën ndodh një ngjarje është e pavarur nga çdo ndodhi. Për thjeshtësi, kjo zakonisht merret të jetë konstante, por në praktikë mund të variojë me kohën.
• Dy ngjarje nuk mund të ndodhin në të njëjtin çast kohe; në vënd të kësaj, në çdo nëninterval shumë të vogël, ose ndodh vetëm një ngjarje, ose nuk ndodh asnjë.

Nëse këto kushte janë të vërteta, atëherë k është një ndryshore e rastit Poisson, dhe shpërndarja e k është një shpërndarje Poisson.

Shpërndarja Poisson është gjithashtu kufiri i një shpërndarjeje binomiale, për të cilën probabiliteti i suksesit për çdo provë është i barabartë me λ pjesëtuar me numrin e provave, ndërsa numri i provave i afrohet pafundësisë (shih Shpërndarjet e ngjashme ).

Shembuj të probabilitetit për shpërndarjet Poisson

Në një lum të caktuar, përmbytjet të mëdha ndodhin mesatarisht një herë në 100 vite. Llogarisni probabilitetin që:k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ose 6 përmbytje të mëdha në një interval prej 100  vitesh,duke hamendësuar se një model puason është i përshtatshëm.

Sepse shkalla mesatare e ndodhisë është një përmbytje e madhe në 100 vite,λ = 1

$P(k{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}={\frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}$

$P(k=0{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368$

$P(k=1{\text{ overflow flood in 100 years}})={\frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368$

$P(k=2{\text{ overflow floods in 100 years}})={\frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={\frac {e^{-1}}{2}}\approx 0.184$

k	P(k përmbytje të mëdha në 100 vite)
0	0.368
1	0.368
2	0.184
3	0.061
4	0.015
5	0.003
6	0.0005

Probabiliteti për 0 deri në 6 përmbytje të mëdha në një periudhë 100 vjeçare.

María Dolores Ugarte dhe kolegët raportojnë se numri mesatar i golave në një ndeshje futbolli të kupës së botës është afërsisht 2.5 dhe modeli Puason është i përshtatshëm. Stampa:R/ref/sandboxMeqënëse shkalla mesatare e ngjarjes është 2.5 gola për ndeshje, λ = 2.5 .

$P(k{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}}$

$P(k=0{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}}={\frac {e^{-2.5}}{1}}\approx 0.082$

$P(k=1{\text{ goal in a match}})={\frac {2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}}={\frac {2.5e^{-2.5}}{1}}\approx 0.205$

$P(k=2{\text{ goals in a match}})={\frac {2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}}={\frac {6.25e^{-2.5}}{2}}\approx 0.257$

k	P(k gola në një ndeshje të Kupës së Botës në futboll)
0	0.082
1	0.205
2	0.257
3	0.213
4	0.133
5	0.067
6	0.028
7	0.010

Probabiliteti për 0 deri në 7 gola në një ndeshje.

Ngjarjet një herë në interval: Rasti i veçantë i λ = 1 dhe k = 0

Supozoni se astronomët vlerësojnë se meteoritët e mëdhenj (mbi një madhësi të caktuar) godasin tokën mesatarisht një herë në 100 vjet ( λ = 1 ngjarje për 100 vjet), dhe se numri i goditjeve të meteorit ndjek një shpërndarje Poisson. Sa është probabiliteti i goditjes k = 0 meteorit në 100 të ardhshëm vjet?

$P(k={\text{0 meteorë godasin në 100 vitet e ardhshme}})={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {1}{e}}\approx 0.37.$

Sipas këtyre supozimeve, probabiliteti që asnjë meteor i madh të mos godasë tokën në 100 vjet është afërsisht 0.37. Pjesa e mbetur 1 − 0.37 = 0.63 është probabiliteti i 1, 2, 3 ose më shumë goditjeve të meteoritëve të mëdhenj në 100 të ardhshëm vjet. Në një shembull të mësipërm, një përmbytje ndodhte një herë në 100 vjet (λ = 1). Probabiliteti i mos përmbytjeve në 100 vjet ishte afërsisht 0.37, me të njëjtën llogaritje.

Në përgjithësi, nëse një ngjarje ndodh mesatarisht një herë në interval ( λ = 1), dhe ngjarjet ndjekin një shpërndarje Poisson, pastaj P(0 events in next interval) = 0.37. Përveç kësaj, P(exactly one event in next interval) = 0.37, siç tregohet në tabelën për përmbytjet e tejmbushura.

Shembuj që shkelin supozimet e Poisson

Numri i studentëve që mbërrijnë në bashkimin e studentëve për minutë ka të ngjarë të mos ndjekë një shpërndarje Poisson, sepse norma nuk është konstante (normë e ulët gjatë orës së mësimit, normë e lartë midis orëve të mësimit) dhe ardhjet e studentëve individualë nuk janë të pavarur (studentët priren të vijnë në grupe). Shkalla e mbërritjes jokonstante mund të modelohet si një shpërndarje e përzier Poisson, dhe ardhja e grupeve dhe jo e studentëve individualë si një proces i përbërë Poisson .

Numri i madhësisë tërmeteve të madhësisë 5 në vit në një vend mund të mos ndjekin një shpërndarje Poisson, nëse një tërmet i madh rrit probabilitetin e pasgoditjeve me magnitudë të ngjashme.

Shembujt në të cilët të paktën një ngjarje është e garantuar që nuk ndjek shpërndarjen Poisson; por mund të modelohet duke përdorur një shpërndarje Poisson të prerë zero .

Vetitë

Statistika përshkruese

• Vlera e pritur dhe varianca e një ndryshoreje rasti të shpërndarë nga Poisson janë të dyja të barabarta me λ .
• Koeficienti i variacionit është ${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$ ndërsa indeksi i dispersionit është 1.
• Devijimi mesatar absolut rreth mesatares është $$\operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.$$
• Moda e një ndryshoreje të rastit të shpërndarë sipas Poisson me λ jo numër të plotë është e barabartë me $\lfloor \lambda \rfloor ,$ i cili është numri i plotë më i madh më i vogël ose i barabartë me λ . Kjo shkruhet edhe si floor ( λ ). Kur λ është një numër i plotë pozitiv, modat janë λ dhe λ − 1.
• Të gjithë mbledhësit e shpërndarjes Poisson janë të barabartë me vlerën e pritur λ . Momenti i n-të faktorial i shpërndarjes Poisson është λ ⁿ .
• Pritja matematike e një procesi Poisson ndonjëherë zbërthehet në produktin e intensitetit dhe ekspozimit (ose më përgjithësisht shprehet si integral i një "funksioni intensiteti" me kalimin e kohës ose hapësirës, ndonjëherë i përshkruar si "ekspozim"). [16]

Mesorja

Kufijtë për mesoren ( $\nu$ ) të shpërndarjes janë të njohura dhe të mprehta : [17]$$\lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.$$

Shumat e ndryshoreve të rastësishme me shpërndarje Poisson

Nëse $X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})$ për $i=1,\dotsc ,n$ janë të pavarura atëherë ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$ [20] Një e kundërt është teorema e Raikov-it, e cila thotë se nëse shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura me shpërndarje Poisson, atëherë kështu janë secila prej këtyre dy ndryshoreve të rastësishme të pavarura. [21] [22]

Entropia maksimale

Është një shpërndarje maksimale e entropisë midis grupit të shpërndarjeve binomiale të përgjithësuara $B_{n}(\lambda )$ me mesatare $\lambda$ dhe $n\rightarrow \infty$, ku një shpërndarje binomiale e përgjithësuar përkufizohet si një shpërndarje e shumës së N variablave Bernoulli të pavarura por jo identikisht të shpërndara.

Veti të tjera

• Shpërndarjet Poisson janë shpërndarje probabiliteti pafundësisht të pjesëtueshme .
• Divergjenca e drejtuar Kullback–Leibler e $P=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})$ nga $P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda )$ jepet nga $$\operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.$$
• Nëse $\lambda \geq 1$ atëherë është një numër i plotë $Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ kënaq $\Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}$ dhe $\Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.$
• Kufijtë për probabilitetet e bishtit të një ndryshoreje rasti Poisson $X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )$ mund të nxirren duke përdorur një argument të kufirit Chernoff . [26] $$P(X\geq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ për }}x>\lambda ,$$$$P(X\leq x)\leq {\frac {(e\lambda )^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},{\text{ për }}x<\lambda .$$

Shpërndarjet e ndërlidhura

Përafrimi Poisson

Supozoni $X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})$ ku $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,$ pastaj $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})$ është i shpërndarë në mënyrë shumënomike $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})$ kushtëzuar në $N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.$

Kjo do të thotë [26] , ndër të tjera, atë për çdo funksion jonegativ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ nëse $(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )$ atëherë shpërndahet në mënyrë shumënomike$$\operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]$$ku $(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).$

Konkluzioni statistikor

Vlerësimi i parametrave

Jepet një zgjedhje prej n vlerash të matura $k_{i}\in \{0,1,\dots \},$ për i = 1, ..., n, dëshirojmë të vlerësojmë vlerën e parametrit λ të popullatës Poisson nga e cila është nxjerrë zgjedhja. Vlerësuesi i përgjasisë maksimale është

${\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .$

Ndodhia dhe zbatimet

Zbatimet e shpërndarjes Poisson mund të gjenden në shumë fusha duke përfshirë: [50]

• Të dhënat e numërueshme në përgjithësi
• Shembull i telekomunikacionit : thirrjet telefonike që vijnë në një sistem.
• Shembull i astronomisë : fotonet që mbërrijnë në një teleskop.
• Shembull i kimisë : shpërndarja e masës molare të një polimerizimi të gjallë . [51]
• Shembull i biologjisë : numri i mutacioneve në një varg të ADN-së për njësi gjatësie.
• Shembull menaxhimi : klientët që mbërrijnë në një sportel ose në një qendër telefonike.
• Shembull i financave dhe sigurimeve : numri i humbjeve ose dëmeve që ndodhin në një periudhë të caktuar kohore.
• Shembull i sizmologjisë së tërmeteve : një model Poisson asimptotik i rrezikut sizmik për tërmete të mëdha. [52]
• Shembull radioaktiviteti : numri i zbërthimeve në një interval kohor të caktuar në një kampion radioaktiv.
• Shembull i optikës : numri i fotoneve të emetuara në një impuls të vetëm lazer. Kjo është një lëndueshmëri e madhe për shumicën e protokolleve të shpërndarjes së çelësave kuantikë të njohur si Ndarja e Numrave të Fotonit (PNS).

Shpërndarja Poisson lind në lidhje me proceset Poisson. Ai zbatohet për dukuri të ndryshme të vetive diskrete (d.m.th., ato që mund të ndodhin 0, 1, 2, 3, … herë gjatë një periudhe të caktuar kohe ose në një zonë të caktuar) sa herë që probabiliteti që dukuria të ndodhë është konstant në kohë ose hapësirë . Shembuj të ngjarjeve që mund të modelohen si një shpërndarje Poisson përfshijnë:

• Numri i ushtarëve të vrarë nga goditjet e kuajve çdo vit në çdo korpus të kalorësisë prusiane . Ky shembull u përdor në një libër nga Ladislaus Bortkiewicz (1868–1931). [10]
• Numri i qelizave të majasë të përdorura gjatë bërjes së birrës Guinness . Ky shembull u përdor nga William Sealy Gosset (1876–1937). [53] [54]
• Numri i telefonatave që mbërrijnë në një qendër telefonike brenda një minute. Ky shembull u përshkrua nga AK Erlang (1878–1929). [55]
• Trafiku i internetit.
• Numri i golave në sportet që përfshijnë dy ekipe konkurruese. [56]
• Numri i vdekjeve në vit në një grupmoshë të caktuar.
• Numri i kërcimeve në çmimin e aksioneve në një interval kohor të caktuar.
• Nën supozimin e homogjenitetit, numri i herëve që një server ueb aksesohet në minutë.
• Numri i mutacioneve në një shtrirje të caktuar të ADN- së pas një sasie të caktuar rrezatimi.
• Përqindja e qelizave që do të infektohen në një shumëllojshmëri të caktuar infeksioni .
• Numri i baktereve në një sasi të caktuar lëngu. [57]
• Ardhja e fotoneve në një qark piksel në një ndriçim të caktuar dhe gjatë një periudhe të caktuar kohore.
• Shënjestra e bombave fluturuese V-1 në Londër gjatë Luftës së Dytë Botërore u hetua nga RD Clarke në 1946. [58]