Wikipedia

Teorema themelore e aritmetikës: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
(View all pending changes)
[pending revision][pending revision]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
Rreshti 5:
== Teorema Fundamentale e Aritmetikës<ref>{{Cite book|last=Rosen|first=Kenneth|title=Discrete Mathematics and Its Applications(Eighth Edition)|publisher=McGraw-Hill Education|year=2019|isbn=978-1-259-67651-2|location=United States of America|pages=251-324|language=en}}</ref> ==
[[File:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|Teorema e faktorizimit unik u vertetua nga [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]-i dhe u publikua ne librin e tij ''Disquisitiones Arithmeticae'' ne vitin 1801]]
Ne [[Matematika|matematike]], '''Teorema Fundamentale e Aritmetikës''', e njohur ndryshe si '''Teorema e Faktorizimit Unik''', thot se secili numër i plotë më i madh se numri 1 mund të reprezentohet në mënyre unike si produkt i fuqive të [[Numri i thjeshtë|numrave të thjeshtë]]. Pra çdo numër ''n'' nga [[Numrat natyralë|bashkesia e numrave natyrorë]] mund të shprehet si më poshtë:<ref>{{Cite book|last=Rosen|first=Kenneth|title=Discrete Mathematics and Its Applications(Eighth Edition)|publisher=McGraw-Hill Education|year=2019|isbn=978-1-259-67651-2|location=United States of America|pages=251-324|language=en}}</ref><math display="block">\qquad n = p_1^{s_1}__L_CURLY__s_1__R_CURLY__\cdot p_1^{s_2}__L_CURLY__s_2__R_CURLY__\cdot p_3^{s_3}__L_CURLY__s_3__R_CURLY__\cdot \ldots \cdot p_k^{s_k}__L_CURLY__s_k__R_CURLY__= \prod_{jprod___L_CURLY__j=1}1__R_CURLY__^{k__L_CURLY__k} p_j^{s_j}__L_CURLY__s_j__R_CURLY__,
</math>ku <math>p_i
</math>-te janë numra të thjeshtë të ndryshëm, për të cilët vlen <math> p_1<p_2<\cdots<p_k</math>, dhe <math>s_i
Rreshti 29:
</math> mund të shprehet me anë të paraqitjes kanonike të vet numrave a dhe b:
 
'''<math> \qquad \begin{alignat}{2}begin__L_CURLY__alignat__R_CURLY____L_CURLY__2__R_CURLY__
a\cdot b & = 2^{a_1__L_CURLY__a_1+b_1}3b_1__R_CURLY__3^{a_2__L_CURLY__a_2+b_2}5b_2__R_CURLY__5^{a_3__L_CURLY__a_3+b_3}7b_3__R_CURLY__7^{a_4__L_CURLY__a_4+b_4}b_4__R_CURLY__\cdots
&& = \prod p_i^{a_i__L_CURLY__a_i+b_i}b_i__R_CURLY__,\\
pmmp(a,b) & = 2^{__L_CURLY__\min(a_1,b_1)}3__R_CURLY__3^{__L_CURLY__\min(a_2,b_2)}5__R_CURLY__5^{__L_CURLY__\min(a_3,b_3)}7__R_CURLY__7^{__L_CURLY__\min(a_4,b_4)}__R_CURLY__\cdots
&& = \prod p_i^{__L_CURLY__\min(a_i,b_i)}__R_CURLY__,\\
shmvp(a,b) & = 2^{__L_CURLY__\max(a_1,b_1)}3__R_CURLY__3^{__L_CURLY__\max(a_2,b_2)}5__R_CURLY__5^{__L_CURLY__\max(a_3,b_3)}7__R_CURLY__7^{__L_CURLY__\max(a_4,b_4)}__R_CURLY__\cdots
&& = \prod p_i^{__L_CURLY__\max(a_i,b_i)}__R_CURLY__.
\end{alignat}end__L_CURLY__alignat__R_CURLY__</math>'''
 
=== Lema e Euklidit ===
Rreshti 57:
</math>,
 
<math>\qquad 10! = [(1\cdot10)]\cdot[(2\cdot6)(3\cdot4)(5\cdot9)(7\cdot8)] \equiv [-1]\cdot[1\cdot1\cdot1\cdot1] \equiv -1 \pmod{11}pmod__L_CURLY__11__R_CURLY__.</math>
 
 
Rreshti 75:
Funksioni <math> \varphi(n)</math> i Euler-it mund të shprehet me anë të formulës:
 
<math> \qquad \varphi(n) =n \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_1}{p_1} \right)\left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_2}{p_2} \right) \cdots\left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_r}{p_r} \right)=n \prod_{pprod___L_CURLY__p\mid n} \left(1-\frac{1}{p}frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p__R_CURLY__\right).</math>
 
një verzion ekuivalent i shprehjes së mësipërme është:
 
<math> \qquad \varphi(n) = p_1^{k_1__L_CURLY__k_1-1}1__R_CURLY__(p_1{p_1__L_CURLY__-}1__R_CURLY__1)\,p_2^{k_2__L_CURLY__k_2-1}1__R_CURLY__(p_2{p_2__L_CURLY__-}1__R_CURLY__1)\cdots p_r^{k_r__L_CURLY__k_r-1}1__R_CURLY__(p_r{p_r__L_CURLY__-}1__R_CURLY__1),</math>
 
ku <math> n = p_1^{k_1__L_CURLY__k_1} p_2^{k_2__L_CURLY__k_2} \cdots p_r^{k_r}__L_CURLY__k_r__R_CURLY__</math> dhe <math> p_1, p_2,\ldots,p_r
</math> janë numra të thjeshtë të ndryshëm nga njeri-tjetri të cilët e plotpjestojnë <math> n</math>.
 
'''Pohim:''' Funksioni <math> \varphi(n)</math> i Euler-it është '''funksion multiplikativ''', që nënkupton se nëse <math> pmmp(n, m)=1</math>, atëherë vlen barazimi <math> \varphi(n\cdot m)=\varphi(n)\cdot \varphi(m)</math>.
 
'''Vërtetimi''': Nga Teorema Fundamentale e Aritmetikës dimë se nëse <math> n>1</math>, atëherë egziston shprehja unike <math> n = p_1^{k_1__L_CURLY__k_1} p_2^{k_2__L_CURLY__k_2} \cdots p_r^{k_r}__L_CURLY__k_r__R_CURLY__
</math>, ku <math> p_1, p_2, \ldots p_k</math> janë numra të thjeshtë për të cilët vlen <math> p_1<p_2<\cdots<p_k</math> dhe përçdo <math> i</math> vlen <math> k_i\geq1</math>. Duke e përdorur në menyrë të përseritur vetinë multiplikative të funksionit <math> \varphi</math>, kemi:
 
<math> \qquad \begin{array} {rclbegin__L_CURLY__array}__L_CURLY__rcl__R_CURLY__
\varphi(n)&=& \varphi(p_1^{k_1}__L_CURLY__k_1__R_CURLY__)\, \varphi(p_2^{k_2}__L_CURLY__k_2__R_CURLY__)
\cdots\varphi(p_r^{k_r}__L_CURLY__k_r__R_CURLY__)\\[.1em]
&=& p_1^{k_1__L_CURLY__k_1-1} (p_1-1)\, p_2^{k_2__L_CURLY__k_2-1} (p_2-1) \cdots p_r^{k_r__L_CURLY__k_r-1}1__R_CURLY__(p_r-1)\\[.1em]
&=& p_1^{k_1__L_CURLY__k_1} \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_1}{p_1} \right) p_2^{k_2__L_CURLY__k_2} \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_2}{p_2} \right) \cdots p_r^{k_r}__L_CURLY__k_r__R_CURLY__\left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_r}{p_r} \right)\\[.1em]
&=& p_1^{k_1__L_CURLY__k_1} p_2^{k_2__L_CURLY__k_2} \cdots p_r^{k_r__L_CURLY__k_r} \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_1}{p_1} \right) \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_2}{p_2} \right) \cdots \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_r}{p_r} \right)\\[.1em]
&=&n \left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_1}{p_1} \right)\left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_2}{p_2} \right) \cdots\left(1- \frac{1frac__L_CURLY__1__R_CURLY____L_CURLY__p_r}{p_r} \right).
\end{array}end__L_CURLY__array__R_CURLY__</math>
 
Vërtetimi mund të bëhet në menyrë alternative duke përdorur parimin e përfshirjes/mospërfshirjes.
Rreshti 105:
=20\cdot\tfrac12\cdot\tfrac45=8.</math>
 
Në mënyrë ekuivakente alternative kemi shprehjen: <math> \varphi(20) = \varphi(2^2 5^1)= 2^{2__L_CURLY__2-1}1__R_CURLY__(2{2__L_CURLY__-}1__R_CURLY__1)\,5^{1__L_CURLY__1-1}1__R_CURLY__(5{5__L_CURLY__-}1__R_CURLY__1) = 2\cdot 1\cdot 1\cdot 4 = 8.</math>
 
Me të vertetë, kemi numrat 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19 te cilët janë të plotë pozitiv më të vegjël se 20, dhe të cilët janë relativisht të thjeshtë me numrin 20.
Rreshti 112:
Në teorinë e numrave, '''Teorema e Euler-it''' (e njohur ndryshe si '''Teorema e Fermat-Euler-it'''), thot se nëse '''<math> a</math>''' dhe <math> n</math> janë dy numra të plotë pozitiv të cilët janë relativisht të thjeshtë në lidhje me njëri-tjetrin, atëherë <math> a</math> e ngritur në fuqinë <math> \varphi(n)</math> është kongruente me 1 modulo <math> n</math>. Pra:
 
<math> \qquad a^{__L_CURLY__\varphi (n)} \equiv 1 \pmod{n}pmod__L_CURLY__n__R_CURLY__</math>,
 
ku <math> \varphi(n)</math> është funksioni i Euler-it.
 
'''Shembull''': Cili është numri më i vogël pozitiv i cili është kongruent me <math> 7^{222}__L_CURLY__222__R_CURLY__</math> në lidhje me modulin 10?
 
Vërejmë se 7 është relativisht i thjeshtë në lidhje me numrin 10. Pra, vlen <math> pmmp(10, 7)=1</math>. Poashtu lehtë mund të shohim se <math> \varphi(10)=4</math>. Tani, nga '''Teorema e Euler-it''' kemi:
 
<math> \qquad7^4 \equiv 1 \pmod{10}pmod__L_CURLY__10__R_CURLY__</math>; <math> 7^{222__L_CURLY__222} \equiv 7^{4__L_CURLY__4 \times 55 + 2} \equiv (7^4)^{55__L_CURLY__55} \times 7^2 \equiv 1^{55__L_CURLY__55} \times 7^2 \equiv 49 \equiv 9 \pmod{10}pmod__L_CURLY__10__R_CURLY__</math>.
 
Pra, përfundojmë se numri më i vogel pozitiv i cili është kongruent me <math> 7^{222}__L_CURLY__222__R_CURLY__</math> në lidhje me modulin 10 është numri 9.
 
'''Rëndesia dhe përdorimi''': Teorema e Euler-it është një nga shtyllat ndërtuese të [[RSA (Algoritëm)|kriptosistemit RSA]], i cili përdoret për enkriptimin dhe sigurimin e të dhënave të cilat qarkullojnë në [[Interneti|internet.]] Teorema e Euler-it në këtë rast e merr numrin <math> n</math> që të jetë produkt i dy numrave të mëdhenj të thjeshtë, dhe siguria e sistemit RSA bazohet pikërisht në faktin se faktorizimi i numrave të thjeshtë të tillë është shumë veshtirë të bëhet (madje nga kompjuterët e rëndomt në shumicën e rasteve është i pamundur).
Rreshti 137:
<math>\qquad a^p-a=128-2=126=7\cdot 18 =p\cdot k</math> , ku <math>k\in \Z</math> (në këtë rast <math>k=18</math>).
 
Në qoftë se a nuk plotëpjestohet nga p, Teorema e vogël e Fermat-it merr këtë formë: nëse <math>p</math> është një numër i thjeshtë, atëherë për secilin numër të plotë <math>a</math>, numri <math>a^{p__L_CURLY__p-1}1__R_CURLY__-1</math> është një shumefish i numrit <math>p</math>. E shprehur me anë të modulit:
 
<math>\qquad a^{p__L_CURLY__p-1} \equiv 1 \pmod p.</math>
 
'''Shembull''': Për <math>a=2
</math> dhe <math>p=7</math>,
 
<math>\qquad a^{p__L_CURLY__p-1}1__R_CURLY__-1=64-1=63=7\cdot 9 =p\cdot k</math> , ku <math>k\in \Z</math> (në këtë rast <math>k=9</math>).
 
Teorema e vogël e Fermat-it është një rast specifik i Teoremës së Euler-it.
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Teorema_themelore_e_aritmetikës"