Dallime mes rishikimeve të "Sfera e Blokut"

21 bytes added ,  3 vjet më parë
ska përmbledhje të redaktimeve
(U kthye versioni 1080618 i bërë nga 79.106.6.203 (diskutimet))
[[Image:Blochsphere.svg|thumb|256px|Sfera e Blokut]]
 
Në [[mekanika kuantike|mekanikën kuantike]], '''sfera e Blokut''' është një paraqitje gjeometrike e hapësirës së [[gjendjeve të pastra]] të një [[sistem dy-nivelesh|sistemi kuantik me dy nivele]] e emëruar sipas fizikantit [[Felix Bloch|Feliks Blok]]. Gjithashtu, ajo mund të shikohet si gjendja e pastër hapësinore e 1 [[kubiti]] të një regjistri kuantik. Sfera e Blokut aktualisht është një [[sfera|sferë]] gjeometrike dhe korrespondenca mes elementëve të sferës së Blokut dhe gjendjeve të pastra mund të jepet në menyremënyre eksplicite. Në formën e përgjithshme, sfera e Blokut gjithashtu i referohet hapësirës analogë një sistemi kuantik me ''n''-nivele.
 
Mekanika kuantike matematikisht është e formulua në [[hapësirënehapësirën e Hilbertit]] ose në [[Hapësire projektive të Hilbertit]]. Hapësira e gjendjeve të pastra të një sistemi kuantik jepet nga rreze në hapësirën e Hilbertit (të cilat janë "pikat" e hapësirës projektive të Hilbertit). Hapësira e rrezeve në cdo [[hapësirë vektoriale]] është një [[hapësirë projektive]], dhe në vecantiveçanti, hapësira e rrezeve në hapësirën Hilbertiane dy dimensionale është një [[Sfera e Rimanit|vije komplekse projektive]], e cila është isomorfike më një sferë. Cdo ciftÇdo çift pikash antipodike në sferën e Blokut i korrespondon në menyremënyre mutuale një ciftiçifti gjëndjesh ekskulziveekskluzive të një therrmijethërrmije, pra, me spin lart ose me spin poshtë për [[eksperimentin e Stern-Gerlach]] të orientuar drejt një boshti të caktuar në hapësirën fizike.
 
[[Metrika (matematike)|Metrika]] natyrale e sferës se Blokut është [[metrika Fubini-Study]].
 
== Kubiti ==
menyremënyre që të tregojmë këtë korrespondencë direkte, le të marrim në konsiderate përshkrimin e kubitit të sferës së Blokut ; cdo gjendje <math>\psi</math> mund të shkruhet si një mbivendosje komplekse e [[vektoreve ket]] <math> |0 \rangle</math> dhe <math>|1 \rangle </math> ; për me tepër meqenese faktoret fazë nuk kanë ndikim mbi gjendjen fizike të sistemit, ne mund të marrim paraqitjen në menyre që koeficentet e <math> |0 \rangle</math> të jenë reale dhe jo-negative. Pra <math>\psi</math> ka një paraqitje si
:<math> |\psi \rangle = \cos \theta \, |0 \rangle + e^{i \phi} \sin \theta \,|1 \rangle \quad = \quad \cos \theta \, |0 \rangle \, + \, ( \cos \phi + i \sin \phi ) \, \sin \theta \,|1 \rangle </math>
me
:<math> 0 \leq \theta < \frac{\pi}{2}, \quad 0 \leq \phi < 2 \pi.</math>
 
PërvecPërveç rastit ku <math>\psi</math> është një nga vektoret ket <math> |0 \rangle</math> ose <math> |1 \rangle</math>, kjo paraqitje është unike, pra. parametrat <math>\phi \,</math> dhe <math>\theta \,</math> specifikojnespecifikojnëmenyremënyre unike një pikë në sferën njesinjësi në hapësirën Euklidiane <math>\mathbb{R}^{3}</math>, nga pikëpamja vizuale, pika kordinatakoordinata e së cilës <math>(x,y,z)</math> janë
:<math> \begin{matrix} x & = & \sin 2 \theta \times \cos \phi \\ y & = & \sin 2 \theta \times \sin \phi \\ z & = & \cos 2 \theta .\end{matrix}</math>
 
== Një përgjithësim për gjëndjetgjendjet e pastra ==
Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me ''n''-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një [[hapësirë Hilbertiane]] ''n''-përmasore ''H''<sub>''n''</sub>. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcakimitpërcaktimit bashkesiabashkësia e rrezeve 1-dimensionale të ''H''<sub>''n''</sub>.
 
Konsideroni një sistem mekaniko kuantik me ''n''-nivele. Ky sistem përshkruhet nga një [[hapësirë Hilbertiane]] ''n''-përmasore ''H''<sub>''n''</sub>. Hapësira e gjendjeve të pastra është sipas përcakimit bashkesia e rrezeve 1-dimensionale të ''H''<sub>''n''</sub>.
 
'''Teoreme'''. Le [[U(N)|U(''n'')]] të jetë një [[grup Lie]] i matricave unitare me përmase ''n''. Atëherë hapësira e gjendjeve të pastra të ''H''<sub>''n''</sub> mund të identifikohet me një hapësirë kosete kompakte
:<math> \operatorname{U}(n) /(\operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1)). </math>
 
Në menyre që të provojme këtë fakt, vini re se kemi një [[veprim grupi]][[transformim natyror|natyral]] te U(''n'') në bashkësine e gjendjeve të ''H''<sub>''n''</sub>. Ky veprim është i vazhdueshemvazhdueshëm dhe [[tranzitiv]] ne gjendjet e pastra. Për cdo gjendjeje ψ, [[grupi izotrop]] i ψ, (i përcaktuar si bashkësia e elementeve ''g'' të U(''n'') e tillë që ''g'' ψ = ψ) është izomorfike me grupin e prodhimit
 
:<math> \operatorname{U}(n-1) \times \operatorname{U}(1). </math>
 
Në fjalorin e algjebrës lineare, kjo mund të justifikohet si më poshtë. Cdo ''g'' e U(''n'') që e le ψ të pandryshuar duhet të ketë ψ si një [[ajgenvektor]]. Meqenese Meqenëse ajgenvlera korresponduese duhet të jetë një numër kompleks me modulus 1, kjo jep faktorin U(1) të grupit izotrop. Pjesa tjetër e grupit izotrop parametrizohet nga matricat unitare në komplementin ortoigonalortogonal të ψ, e cila është izomorfike me U(''n'' - 1). Nga ky pohim i teoremesteoremës del nga faktet bazë për grupe veprimi tranzitivetransitive të grupeve kompakte.
 
Fakti i rendesishemrëndësishëm këtu është që ''grupet unitare veprojneveprojnëmenyremënyre tranzitivetransitive në '' gjendjet e pastra.
 
Tani [[dimensioni]] (real) i U(''n'') është ''n''<sup>2</sup>. Kjo shikohet lehtë meqenesemeqenëse relacioni eksponencial
:<math> A \mapsto e^{i A} </math>
është një homeomorfizem lokal nga hapësira e matricesmatricës komplekse (e transpozuara e se cilës është e konjuguara komplekse) me U(''n''). The space of self-adjoint complex matrices has real dimension ''n''<sup>2</sup>.
 
'''Rrjedhim'''. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të ''H''<sub>''n''</sub> është
:<math> n^2 - ((n-1)^2 +1) = 2 n - 2. \quad </math>
 
'''Rrjedhim'''. Dimensioni real i një hapësirës së gjendjejeve të pastra të një rregjistriregjistri kuantik me ''m'' kubite është 2<sup>''m''+1</sup> &minus; 2.
 
== Gjeometria e operatoreve të densitetit ==
 
 
== Referenca ==
* Alain Michaud, "[http://alainmichaud.net/RabiOscillations.html Rabi Flopping Oscillations]" (2006). ''(A small animation of the bloch vector submitted to a resonant excitation.)''
*{{cite book | author= Singer, Stephanie Frank | title=Linearity, Symmetry, and Prediction in the Hydrogen Atom | publisher=Springer | location=New York | year=2005 | id=ISBN 0-387-24637-1}}
 
 
[[Kategoria:Mekanikë kuantike]]