|
Në fakt, kjo mënyrë algjebrike jo vetëm që na lejon që të zgjerojmë nocionin e [[Distribucioni i probabilitetit|distribucionit të probabilitetit]] në [[Hapësira fazale|hapësirën fazale]] në [[distribucionin e kuazi-probabilitetit të Wignerit]], por gjithashtu është një metodë më e fuqishme veçanërisht në trajtimin klasik, ku ndihmon për analizimin e [[Madhesi e konservuar|madhësive të konservuara]] në një sistem.
== FormalizimiFormalizmi matematik ==
Për cdoçdo funksinonfunksion ''H'' qe ka vlere reale dhe është [[kunksionfunksion i lemuarlëmuar|i lemuarlëmuar]] nenë një [[manifold simplektik]] ne mund tetë percaktojmepërcaktojmë një [[Fushe vektoriale Hamiltoniane|sistem Hamiltonian]]. Funksioni ''H'' njihet si '''Hamiltoniani''' ose '''funksioni i energjiseenergjisë'''. Manifoldi simplektik nenë ketekëtë rast quhet [[hapesirahapësira fazale|hapesirehapësire fazale]]. Funksioni Hamiltonian indukton një [[fushe vektoriale]] speciale ne manifoldin simpletik, e cila njihet si [[fusha vektoriale simplektike]].
Fusha vektoriale simplektike, që gjithashtu njihet si fusha vektoriale Hamiltoniane, shaktonshkakton një [[rrjedhe Hamiltoniane]] nenë manifold. [[Kurbat integrale]] të fushesfushës vektoriale janë një familje me një parameterparametër e transformimeve nenë manifold ; parametri i kurbave zakonisht quhet '''kohe'''. Evolucioni kohor nenë ketekëtë rast jepet nga [[simplektomorfizma]]t. Nga [[Teorema e Ljuvilit]], çdo simplektomorfizem ruan [[formen e volumit]] nenë [[hapesirenhapësirën fazale]]. Grumbullimi i simplektomorfizmave tetë shkaktuara nga rrjedha e Hamiltonit zakonisht quhet '''mekanika e Hamiltonit''' e sistemit Hamiltonian.
Fusha vektoriale Hamiltoniane shkakton gjithashtu një veprim special te quajtur, [[parantezat e Puasonit]]. Parantezat e Puasonit veprojneveprojnë mbi funksione nenë një manifold simplektik, duke i dhenedhëne hapesireshapësirës sesë funksioneve një structurestrukture qeqë quhet [[algjebra e Liut]].
Le tetë kemi një funksiontefunksion te caktuar ''f''
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} f=\frac{\partial }{\partial t} f + \{\,f,\mathcal{H}\,\}.</math>
Neqoftese kemi një [[distribucion probabiliteti]], ρ,atehere atëherë (neqoftese shpejtesiashpejtësia nenë hapesirenhapësirën fazale (<math> {\dot p_i}, {\dot q _i} </math>) ka divergjencë zero, dhe probabiliteti ruhet ) nenë ketekëtë rast mund tetë tregohet se derivati konvektiv është zero, pra
:<math>\frac{\partial}{\partial t} \rho = - \{\,\rho, \mathcal{H}\,\}.</math>
Kjo quhet [[Teorema e Ljuvilit (Funksioni Hamiltonian)|teorema e Ljuvilit]]. Cdo Çdo [[funksion i lemuarlëmuar]] ''G'' mbi një [[manifold simplektik]] prodhon një familje [[simplektomorfizma]]sh me një parameterparametër dhe neqoftese { ''G'', ''H'' } = 0, atehereatëherë ''G'' është një madhesimadhësi qeqë ruhet dhe simplektomorfizmat në ketekëtë rast janejanë [[transformime simetrie]].
Një Hamiltonian mund tetë keteketë shumë madhesimadhësi tetë konservuara ''G''<sub>''i''</sub>. Neqoftese manifold simplektik ka një dimension 2''n'' si dhe ekzistojneekzistojnë ''n'' madhesimadhësi funksionale te pavarura ''G''<sub>''i''</sub> tetë cilat janejanë tetë barabarta me inversin e tyre (pra, { ''G''<sub>''i''</sub>, ''G''<sub>''j''</sub> } = 0), atehereatëherë funksioni Hamiltonian është [[Integrimi Ljuvilan|funksion Ljuvilan i integrueshem]]. [[Teorema e Ljuvil–Arnoldit]] thotethotë se lokalisht çdo funksion Hamiltonian qeqë është një funksion Ljuvilan i integrueshemintegrueshëm, mund tetë transformohet nepermjetnëpërmjet një simplektomorfizme ne një funksion tetë ri Hamiltonian ku madhesitemadhësitë e konservuara ''G''<sub>''i''</sub> veprojneveprojnë si koordinata ; ketokëto koordinata te reja quhen ''koordinatat e kendevekëndeve tetë veprimit''. Funksioni i transformuar Hamiltonian varet vetemvetëm tetë ''G''<sub>''i''</sub>, keshtukështu qeqë ekuacionet e levizjeslëvizjes kanë një formeformë memë tetë thjështëthjeshtë
<math> \dot{G}_i = 0, \qquad \dot{\varphi}_i = F(G), </math>
Për disa funksione ''F'' (Arnol'd et al., 1988).) Ekzistonekziston një fushe e tere qeqë merret me studimin e devijimeve tetë vogla nga sistemet e integrueshme . Themelore nenë ketekëtë degedegë është [[Teorem KAM]].
Integrimi i fushave vektoriale Hamiltoniane është një pyetje e hapur. Pergjithesisht Përgjithësisht, çdo sistem Hamiltonian është [[Teoria a kaosit|kaotik]] ; konceptet e matjes, kompletesisekompletesisë, integimitintegrimit dhe stabilitetit janejanë tetë percaktuarapërcaktuara nenë një menyremënyre shumë të dobët. Në ketokëto kohrakohëra, studimi i [[Sistemet dinamike|sistemeve dinamike]] është më shumë kualitativ sesa kuantitativ, prandaj ajo qeqë mbetet perpër tu bërë është vendosja e ketyrekëtyre koncepteve mbi baza me forta matematike që lejojnë perpër modelime dhe llogaritje.
== Manifoldet Rimaniane ==
| 