Wikipedia

Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit: Dallime mes rishikimesh

Browse history interactively
[redaktim i pashqyrtuar][redaktim i pashqyrtuar]
← Redaktim më i vjetërNdryshimi më pas →
Content deleted Content added
PamorTekst wiki
No edit summary
Rreshti 1:
Në [[Analiza e variacionit|analizën e variacionit]], '''ekuacioni i Ojler–Lagranzhit''', ose '''ekuacioni i Lagranzhit''' është një [[Ekuacioni diferencial|ekuacion diferencial pjesor]] zgjidhjet e të cilit janë [[Funksioni|funksionet]] për të cilat [[Funksionali (matematikë)|funksionali]] është një [[Pika stacionare|pikë stacionare]]. Ky ekuacion u zhvillua nga matematikani zviceran [[Leonhard Euler|Leonard Ojler]] dhe matematikani Franko-Italian [[Jozef Luiz Lagranzhi]] më [[1750]]s.
 
Një funksional i cili është i diferencueshëm ka një pikë stacionare tek njëra nga [[Ekstremumet (matematikë)|maksimumet ose minimumet]] lokale, ekuacioni i Ojler-Lagranzhit është i dobishëm për zgjidhjen e problemeve të [[optimizimi (matematikë)|optimizimit]] në të cilat, kur jepet një funksional, nëne kërkojmë një funksion i cili e minimizon (ose e zmadhon) atë. Kjo është analoge me [[Teorema e FermaFermat (pika stacionare)|teoremën e FermaFermat]] në [[Analiza matematike|analizë]], e cila pohon se kur një funksion i diferencueshem arrin një ekstremum lokal, [[derivati (matematikë)|derivati]] i tij është zero.
 
Në [[Mekanika e Lagranzhit|mekanikën e Lagranzhit]], për shkak te [[Principi i Hamiltonit|parimit të Hamiltonit]] të veprimit stacionar, evolucioni i një sistemi fizik përshkruhet nga zgjedhjet e ekuacionit të Ojler–Lagranzhit për [[veprimi (fizikë)#Veprimi (funksionali)|veprimin]] e sistemit. Në [[Mekanika klasike|mekanikën klasike]], kjo është ekuivalente me [[Ligjet e Njutonit]], por në të njëjtën kohë kjo ka avantazhin që merr të njëjtën formë në çdo sistem [[Koordinatat e përgjithshme|koordinatash të përgjithshme]], dhe është më e përshtatshme për përgjithësime (shikoni, për shembull, seksionin mbi "[[#Teoria e fushës|Teorinë e fushës]]" më poshtë).
Rreshti 28:
Ekuacioni i Ojler Lagranzhit, atëherë është një [[ekuacion diferencial ordiner]]
:<math>L_x(t,q(t),q'(t))-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}L_v(t,q(t),q'(t)) = 0.</math>
ku ''L''<sub>''x''</sub> dhe ''L''<sub>''v''</sub> tregojnë derivatet pjesore te ''L'' ne lidhje me argumentet e pareparë dhe tetë tretetretë, respektivisht.
 
NeqofteseNëqoftëse përmasat e hapësirës ''X'' janë më të mëdha se 1, atëherë marrim një sistem ekuacionesh diferenciale, një për çdo komponent :
:<math>\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial x_i}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L(t,q(t),q'(t))}{\partial v_i} = 0
\quad \text{for } i = 1, \dots, n.</math>
 
== Shembuj ==
NjeNjë shembull standard është gjetja e një funksioni me vlerevlerë reale në intervalin [''a'', ''b''], i tilletillë që ''f'' (''a'') = ''c'' dhe ''f'' (''b'') = ''d'', [[Gjatësia e harkut|gjatësia]] e [[grafi i funksionit|grafit]] tetë funksionit është sa më e shkurtër. Gjatësia e grafit tetë ''f'' është :
:<math> \ell (f) = \int_{a}^{b} \sqrt{1+f'(x)^2}\,\mathrm{d}x,</math>
Ku integrandi i funksionit është {{nowrap|1=''L''(''x'', ''y'', ''y''′) = {{radic|1 + ''y''′<sup>2</sup>}}}} i vlerësuar tek {{nowrap|1=(''x'', ''y'', ''y''′) = (''x'', ''f''(''x''), ''f''′(''x''))}}.
 
Derivatet pjesore tetë ''L'' janë :
:<math>\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y'} = \frac{y'}{\sqrt{1 + y'^2}} \quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(x, y, y')}{\partial y} = 0.</math>
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler-Lagranzhit, nëne marrim
:<math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = 0 \Rightarrow \frac{f'(x)}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \text{constant} \Rightarrow f'(x) = \text{constant:}</math>
Pra, funksioni duhet tetë ketë derivationderivatin e pareparë constantkonstant, kështu që grafi është një segment i një [[vjeVija|vije të drejte]].
 
== Mekanika klasike ==
=== Thërrmijë në një fushë konservative ===
Lëvizja e një thërrmije tetë vetme nenë një fushësfushë [[Forca konservative|konservative]] (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po tetë vendosim kushtin që [[Veprimi (fizikefizikë)#Veprimi (funksionali)|veprimi]] të jetë stacionar, nga [[principi i Hamiltonit]]. Veprimi për këtë system është
:<math>S = \int_{t_0}^{t_1} L(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{\dot{x}}(t))\,\mathrm{d}t</math>
Ku '''x'''(''t'') është pozicioni i thërrmijës në kohenkohën ''t''. Pika mbi variablat është [[Notacioni i Njutonit]] për derivationderivatin kohor : pra '''ẋ'''(''t'') është shpejtësia e thërrmijës, '''v'''(''t''). NeNë ekuacionin memë lart ''L'' është [[Funksioni Lagranzhian]] ([[Energjiaenergjia kinetike]] minus [[Energjia potenciale|energjinë potenciale]]) :
:<math>L(t, \mathbf{x}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}m \sum_{i=1} ^{3} v_i^2 - U(\mathbf{x}),</math>
ku :
* ''m'' është [[masa (fizikefizikë)|masa]] e thërrmijës ([[Konservimi i masës|e cila është konstante]] në fizikën klasike) ;
* ''v''<sub>''i''</sub> është komponneti i ''i''-te i vektorit '''v''' ne një system Kartezian koordinativ (i njëjti notacion do të përdoret edhe për vektorët e tjerë) ;
* ''U'' është potenciali i forcës konservative.
Në këtë rast, Lagranzhaini nuk ndyshon me argumentin e tij të parë ''t''. (Nga [[Teorema e NedheritNëdherit]], simetri të tilla tetë sistemit i korrespondojnë [[ligjeve tetë konservimit]]. NeNë veçanti, invarianceinvarianca e Lagranzhianit nenë lidhje me kohenkohën implikon [[konservimin e energjisë]].)
 
Nga diferencimi pjesor i Lgranzhianit të melartemmelartëm, marrim :
:<math>\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial x_i} = -\frac{\partial U(\mathbf{x})}{\partial x_i} = F_i (\mathbf{x})\quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial v_i} = m v_i = p_i,</math>
Ku forca '''F''' = −∇''U'' (negativja e [[gradientit]] te potencialit, nga përcaktimi i forcës konservative), dhe '''p''' është [[momenti]].
 
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale tetë rendit tetë dyte për koordinatat e trajektores sesë thërrmijës,
:<math>F_i(\mathbf{x}(t)) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t} m \dot{x}_i(t) = m \ddot{x}_i(t),</math>
Të cilat mund të zgjidhen në një interval [''t''<sub>0</sub>, ''t''<sub>1</sub>], potpo etë kemi vlerat kufitare ''x''<sub>''i''</sub>(''t''<sub>0</sub>) dhe ''x''<sub>''i''</sub>(''t''<sub>1</sub>).
NeNë notacioninotacionin vektorial, ky sistem merr formën
:<math>\mathbf{F}(\mathbf{x}(t)) = m\mathbf{\ddot x}(t)</math>
Ose, duke përdorur momentin vrullin(impulsionimpulsin),
:<math> \mathbf{F} = \frac {\mathrm{d}\mathbf{p}} {\mathrm{d}t}</math>
Nga e cila marrim [[LigjiLigjet ie dyteNjutonit|ligjin ie dytë të Njutonit]].
 
== Teoria e fushës ==
Teoritë e fushës, si [[teoria klasike e fushës]] ashtu edhe [[teoria kuantike e fushës]], merren me koordinata tetë vazhdueshme, dhe ashtu si nenë mekaniken klasike, kanë ekuacionet e tyre tetë Ojler-Lagranzhit për lëvizjen në një fushë,
::<math> \partial_\mu \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ( \partial_\mu \psi )} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \psi} = 0. \,</math>
:ku
Rreshti 80:
::<math>\partial_\mu = \left(\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right). \,</math>
 
'''Vini re''' : Jo te gjitha teoritë e fushës marrin si hipotezehipotezë se variablat bozonike janë komutative, disa prej tyre (si [[fusha e Dirakut]], fusha e WeylitUeylit, fusha Rarita-Shuinger) janë fermionike kështu që, kur duam qe të marrim ekuacionet e fushës nga densiteti i Lagranzhit, duhet të zgjedhim neqoftesenëqoftëse të përdorim derivationderivatin e djathtedjathtë ose tetë majtemajtë tetë densitetit Lagranzhian (i cili është një bozon) në lidhje me fushat dhe derivatet kohore të rendit të parë të cilat janë objekte fermionike/antikomutative.
 
Ka shume shembuj të ndryshëm ku ekuacionet e Ojler-Lagranzhit aplikohen direkt tek funksionet e ndryshme Lagranzhiane.
Rreshti 89:
* [[Elektrodinamika kuantike#Matematika|Elektrodinamika kuantike]]
 
== Ndyshime për funksionefunksionet me shumë ndryshorevariabla ==
Një përgjithësim multi-dimensional vjen duke konsideruar një funksion me ''n'' variables. NeqofteseNëqoftëse Ω është një sipërfaqe, atëherë
: <math> S = \int_{\Omega} L(f, x_1, \dots , x_n, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\Omega \,\!</math>
 
Merr një ekstremum vetëm neqoftese ''f'' plotëson [[Ekuacioni diferencial pjesor|ekuacionin diferencial pjesor]]
 
: <math> \frac{\partial L}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial L}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!</math>
 
Kur ''n'' = 2 dhe ''L'' është [[funksionali i energjisë]], kjo con tek një problem i tipit te [[sipërfaqes minimale]].
 
== Historia ==
Ekuacioni i Ojler–Lagranzhit u zhvillua në [[1750]]-ten nga Ojleri dhe Lagranzhi në lidhje me studimet e tyre mbi problemin e [[tautokronestautokronës]]. Ky problem ka të bëjebëjë me përcaktimin e një kurvekurbe pergjatepërgjatë të cilës një thërrmijethërrmijë do të bjerrë nenë një pikë te fiksuar nenë një kohë të caktuar, tetë pavarur nga pika fillestare.
 
Lagranzhi e zgjidhi këtë problem me [[1755]] dhe i dërgoi zgjidhjen Ojlerit. Te dy e zhvilluan me tej metodën e Lagranzhit dhe e aplikuan atë tek [[mekanika]], e cila coi në formulimin alternativealternativ të [[Mekanika e Lagranzhit|mekanikës së Lagranzhit]]. Korrespondenca e tyre coi nenë analizeneanalizën e variacionit, një term i vendosur nga Ojlerivetë veteOjleri në [[1766]].<ref>[http://numericalmethods.eng.usf.edu/anecdotes/lagrange.pdf a short biography of Lagrange]</ref>
 
== Prova ==
Derivimi i ekuacionit një-dimensional të Ojler–Lagranzhit është një nga provat klasike nenë [[Matematika|matematikesmatematikë]]. Ajo mbështetet tek [[Lema themelore e analizës së variacionit]].
 
Duam që të gjejmë një funksion <math>f</math> i cili kënaq konditat kufitare ''f''(''a'') = ''c'', ''f''(''b'') = ''d'', dhe i cili ekstremizon koston e funksionalit
Rreshti 111:
: <math> J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx. \,\!</math>
 
Marrim si hipotezehipotezë që ''F'' ka derivate të vazhdueshme tetë rendit të parë. NjeNjë hipotezehipotezë memë e dobët mund të përdoret por nenë atë rast prova behetbëhet shumë më e vështire.
 
Neqoftese ''f'' merr një ekestremum ku kostoja e funksionalit është subjekt i konditave kufitare, atëherë çdo pertubim i vogël i ''f'' që ruan vlerat kufitare duhet ose ta zmadhoje ''J'' (nqs ''f'' është një minimizues) ose ta zvogëloje ''J'' (nqs ''f'' është një maksimizues).
Rreshti 166:
:<math>\frac{\partial J}{\partial y_m} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right)\Delta t + F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right).</math>
 
Duke e pjesëtuar ekuacionin e e melartemmëlartëm me <math>\Delta t</math> marrim
 
:<math>\frac{\partial}{\partial y_m \Delta t} = F_y\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - \frac{1}{\Delta t}\left[F_{y'}\left(t_m, y_m, \frac{y_{m + 1} - y_m}{\Delta t}\right) - F_{y'}\left(t_{m - 1}, y_{m - 1}, \frac{y_m - y_{m - 1}}{\Delta t}\right)\right],</math>
 
dhe duke marremarrë limitin kur <math>\Delta t \to 0</math> te anës së djathtedjathtë të shprehjes marrim
 
:<math>\frac{\delta J}{\delta y} = F_y - \frac{d}{dt}F_{y'}.</math>
Marrë nga "https://sq.wikipedia.org/wiki/Ekuacioni_i_Ojler-Lagranzhit"