Ekuacioni i Ojler-Lagranzhit: Dallime mes rishikimesh
| [redaktim i pashqyrtuar] | [redaktim i pashqyrtuar] |
Content deleted Content added
Rreshti 103:
Lëvizja e një thërrmije të vetme në një fushë [[Forca konservative|konservative]] (për shembull, forca gravitacionale) mund të përcaktohet po të vendosim kushtin që [[Veprimi (fizikë)#Veprimi (funksionali)|veprimi]] të jetë stacionar, nga [[principi i Hamiltonit]]. Veprimi për këtë system është
:<math>S = \int_{t_0}^{t_1} L(t, \mathbf{x}(t), \mathbf{\dot{x}}(t))\,\mathrm{d}t</math>
Ku '''x'''(''t'') është pozicioni i thërrmijës në kohën ''t''. Pika mbi variablat është [[
:<math>L(t, \mathbf{x}, \mathbf{v}) = \frac{1}{2}m \sum_{i=1} ^{3} v_i^2 - U(\mathbf{x}),</math>
ku :
Rreshti 111:
Në këtë rast, Lagranzhaini nuk ndyshon me argumentin e tij të parë ''t''. (Nga [[Teorema e Nëdherit]], simetri të tilla të sistemit i korrespondojnë [[ligjeve të konservimit]]. Në veçanti, invarianca e Lagranzhianit në lidhje me kohën implikon [[konservimin e energjisë]].)
Nga diferencimi pjesor i Lagranzhianit të
:<math>\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial x_i} = -\frac{\partial U(\mathbf{x})}{\partial x_i} = F_i (\mathbf{x})\quad \text{and} \quad
\frac{\partial L(t,\mathbf{x},\mathbf{v})}{\partial v_i} = m v_i = p_i,</math>
Ku forca '''F''' = −∇''U'' (negativja e [[gradientit]]
Duke zëvendësuar këto tek ekuacioni i Ojler–Lagrange, ne marrim një sistem ekuacionesh diferenciale të rendit të dyte për koordinatat e trajektores së thërrmijës,
| |||