Teorema e Grinit

Në llogaritjen vektoriale, teorema e Grinit lidh një vijë integrale rreth një lakore të thjeshtë të mbyllur C me një integral të dyfishtë mbi zonën e rrafshët D të kufizuar nga C . Është rasti i veçantë dydimensional i teoremës së Stoksit .

Teorema

Le të jetë $C$ një kurbë e orientuar pozitivisht, pjesë-pjesë e lëmuar, e thjeshtë e mbyllur në një rrafsh, dhe le të jetë $D$ rajoni i kufizuar nga $C$ . Nëse $L$ dhe $M$ janë funksione të $(x,y)$ të përcaktuara në një rajon të hapur që përmban $D$ dhe kanë derivate të pjesshme të vazhdueshme, atëherë

$$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dx\,dy$$

ku rruga e integrimit përgjatë $C$ është kundërorar .

Në fizikë, teorema e Green gjen zbatime të shumta. Njëra është zgjidhja e integraleve të rrjedhës dydimensionale, duke deklaruar se shuma e lëngut që del nga një vëllim është e barabartë me daljen totale të përmbledhur rreth një zone rrethuese. Në gjeometrinë e rrafshët, dhe në veçanti, rilevimin e zonës, teorema e Green-it mund të përdoret për të përcaktuar sipërfaqen dhe qendrën e figurave të rrafshnaltës vetëm duke integruar mbi perimetrin.

Marrëdhënia me teoremën e Stoksit

Teorema e Grinit është një rast i veçantë i teoremës Kelvin-Stoks, kur zbatohet në një rajon të rrafshit $xy$ .

Ne mund ta shtojmë fushën dy-dimensionale në një fushë tredimensionale me një përbërës $z$ që është gjithmonë 0. Shkruani ${\boldsymbol {F}}$ për funksionin me vlerë vektoriale $\mathbf {F} =(L,M,0)$ . Filloni me anën e majtë të teoremës së Grinit:

$$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint _{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} .$$

Teorema Kelvin-Stoks:

$$\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS.$$

Siperfaqja $S$ është vetëm rajoni në rrafshin $D$, me njësinë normale $\mathbf {\hat {n}}$ përkufizohet (me marrëveshje) të ketë një përbërës pozitiv $z$ në mënyrë që të përputhet me përkufizimet e "orientimit pozitiv" për të dyja teoremat.

Shprehja brenda integralit bëhet

$$\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \right]\cdot \mathbf {k} =\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right).$$

Kështu marrim anën e djathtë të teoremës së Grinit

$$\iint _{S}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.$$

Teorema e Grinit është gjithashtu një rezultat i drejtpërdrejtë i teoremës së përgjithshme të Stoksit duke përdorur forma diferenciale dhe derivatet e jashtme :

$$\oint _{C}L\,dx+M\,dy=\oint _{\partial D}\!\omega =\int _{D}d\omega =\int _{D}{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge \,dx+{\frac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge \,dy=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.$$